[數學]三次方和的範圍

[數學]三次方和的範圍

雞腿飯 於 星期五 三月 11, 2005 12:06 am


非負實數 X1+X2+X3+....+Xn=10
X1^2+X2^2+X3^2+....+Xn^2=100

Y=X1^3+X2^3+X3^3+....+Xn^3
求Y的範圍
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訪客 於 星期日 三月 13, 2005 12:24 pm


It.s easy to find
by Cauchy!

訪客

 

雞腿飯 於 星期日 三月 13, 2005 11:55 pm


It's very easy to find
without Cauchy!

Just do it.


說白一點, 用柯西就中計了!
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訪客 於 星期二 三月 15, 2005 2:48 pm


哎呀!真是中計了,趕快修正。

  (Σx(i))^2 = (Σx(i)^2) + 2Σx(i)x(j)
=>  100 = 100 + 2Σx(i)x(j)
=>  Σx(i)x(j) = 0
=>  Σx(i)x(j)x(k) = 0
(此意味著,每項皆為0,或者可說,除了某個 x(i)=10 以外,其餘皆為0)

  又    (Σx(i)^3) = (Σx(i))^3 - 3Σx(i)Σx(i)x(j) + 3Σx(i)x(j)x(k)
=> y= (Σx(i)^3) = 1000 - 0 + 0 = 1000

訪客

 

浩浩 於 星期二 三月 15, 2005 8:11 pm


Anonymous 寫到:哎呀!真是中計了,趕快修正。

  (Σx(i))^2 = (Σx(i)^2) + 2Σx(i)x(j)


請問一下喔,這條式子是怎麼來的?

其實這題用柯西不等式應該也可以吧,只是尚未做出來
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雞腿飯 於 星期二 三月 15, 2005 10:09 pm


浩浩 寫到: 其實這題用柯西不等式應該也可以吧,只是尚未做出來


注意"非負實數"
柯西不等式的變數定義域是"實數"

柯西不等式並未充分利用到本題條件
所以本題範圍比柯西不等式範圍小得多了.
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qeypour 於 星期二 八月 23, 2005 12:55 am


雞腿飯 寫到:It's very easy to find
without Cauchy!

Just do it.


說白一點, 用柯西就中計了!


柯西適用於實數
x1~xn為非負實數即爲滿足此條件而寫
若x1~xn為負數就無法用以下柯西
本題只是單純柯西
二條式子就解決
用柯西不會中計啦

(x1+..........+xn)*[(x1)^3+........+(xn)^3]>=[(x1)^2+........+(xn)^2]^2
10*[(x1)^3+........+(xn)^3]>=10000

所以立方和>=1000

qeypour
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