[分享]一些基本的幾何定理 - 中文

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 9:52 am


等腰三角形
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:有兩條邊相等的三角形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 9:52 am


等腰三角形底角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一等腰三角形,如果AB=AC,那麼∠ABC=∠ACB (等腰三角形底角)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
D是BC的中點,連AD。
AB=AC (已知)
BD=CD (已知)
DA=DA (公共邊)
∴△ABD≡△ACD (SSS)
∴∠ABC=∠ACB (全等三角形的對應角)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 9:53 am


等角對邊相等
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠ABC=∠ACB,那麼AB=AC (等角對邊相等)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
D是BC上的一點,使AD⊥BC。連AD。
∠ABD=∠ACD (已知)
∠BDA=∠CDA=90° (已知)
DA=DA (公共邊)
∴△ABD≡△ACD (AAS)
∴AB=AC (全等三角形的對應邊)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 10:20 am


等邊三角形
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:三條邊都相等的三角形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 10:27 am


等邊三角形性質
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果ABC是一等邊三角形,那麼AB=BC=CA及∠ABC=∠BCA=∠CAB=60° (等邊三角形性質)

證明
△ABC是一等邊三角形 (已知)
∴三條邊都相等 (根據定義)
∴AB=BC=CA

∵AB=BC=CA (已證)
∴∠ABC=∠ACB (等腰三角形底角)
∴∠BAC=∠BCA (等腰三角形底角)
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB
∵∠ABC+∠BCA+∠CAB=180° (三角形內角和)
∴3∠ABC=180°
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°


如果AB=BC=CA或∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°,那麼△ABC是一等邊三角形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期五 四月 11, 2003 8:57 am


平行四邊形
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:兩組對邊都平行的四邊形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期五 四月 11, 2003 9:13 am


平行四邊形對邊
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果ABCD是一平行四邊形,那麼AB=DC及AD=BC (平行四邊形對邊)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
連AC。
ABCD是一平行四邊形 (已知)
∴AB//DC 及 AD//BC (根據定義)
∴∠BAC=∠DCA (錯角,AB//DC)
∴AC=CA (公共邊)
∴∠ACB=∠CAD (錯角,AD//BC)
∴△BAC≡△DCA (ASA)
∴AB=DC及AD=BC (全等三角形的對應邊)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期五 四月 11, 2003 10:51 am


平行四邊形對角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果ABCD是一平行四邊形,那麼∠BAD=∠BCD及∠ABC=∠CDA (平行四邊形對角)

證明
ABCD是一平行四邊形 (已知)
∴AB//DC 及 AD//BC (根據定義)
∴∠ADC+∠DAB=180° (同旁內角,AB//DC)
∴∠ABC+∠BCD=180° (同旁內角,AB//DC)
∴∠ADC+∠BCD=180° (同旁內角,AD//BC)
∴∠DAB+∠ABC=180° (同旁內角,AD//BC)
∴∠BAD=∠BCD及∠ABC=∠CDA

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期五 四月 11, 2003 11:05 am


平行四邊形對角線
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果ABCD是一平行四邊形,那麼AO=OC及BO=OD (平行四邊形對角線)

證明
ABCD是一平行四邊形 (已知)
∴AB//DC 及 AD//BC (根據定義)
∴∠BOA=∠DOC (對頂角)
∴∠OAB=∠OCD (錯角,AB//DC)
∴AB=CD (平行四邊形對邊)
∴△BOA≡△DOC (AAS)
∴AO=OC及BO=OD (全等三角形的對應邊)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期五 四月 11, 2003 11:45 am


對邊相等
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB=DC及AD=BC,那麼ABCD是一平行四邊形 (對邊相等)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
連AC。
AB=CD (已知)
BC=DA (已知)
CA=AC (公共邊)
∴△ABC≡△CDA (SSS)
∴∠CAB=∠ACD (全等三角形的對應角)
∴∠BCA=∠DAC (全等三角形的對應角)
∴AB//DC及AD//BC (錯角相等)
∴ABCD是一平行四邊形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 15, 2003 11:06 am


對角相等
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠DAB=∠BCD及∠ABC=∠CDA,那麼ABCD是一平行四邊形 (對角相等)

證明
∠DAB=∠BCD (已知)
∠ABC=∠CDA (已知)
∠DAB+∠BCD +∠ABC+∠CDA=(4-2)180° (多邊形內角和)
∴2(∠DAB+∠ABC)=360°
∴∠DAB+∠ABC=180°
∴AD//BC (同旁內角互補)
∴2(∠ABC+∠BCD)=360°
∴∠ABC+∠BCD=180°
∴AB//DC (同旁內角互補)
∴ABCD是一平行四邊形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 15, 2003 11:44 am


對角線互相平分
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AO=OC及BO=OD,那麼ABCD是一平行四邊形 (對角線互相平分)

證明
AO=CO (已知)
∠AOB=∠COD (對頂角)
∠AOD=∠COB (對頂角)
BO=DO (已知)
∴△AOB≡△COD (SAS)
∴△AOD≡△COB (SAS)
∴AB=CD (全等三角形的對應邊)
∴BC=DA (全等三角形的對應邊)
∴ABCD是一平行四邊形 (對邊相等)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 16, 2003 12:17 pm


一組對邊相等且平行
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB=DC及AB//DC,那麼ABCD是一平行四邊形 (一組對邊相等且平行)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
連AC。
BA=DC (已知)
BA//DC (已知)
∴∠BAC=∠DCA (錯角,BA//DC)
AC=CA (公共邊)
∴△BAC≡△DCA (SAS)
∴BC=DA (全等三角形的對應邊)
∴ABCD是一平行四邊形 (對邊相等)

Raceleader
訪客
 






平面&空間幾何