[分享]一些基本的幾何定理 - 中文

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Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 7:23 pm


全等三角形

SSS
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB=DE,BC=EF及CA=FD,那麼△ABC≡△DEF (SSS)


SAS
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果BA=ED,∠BAC=∠EDF及AC=DF,那麼△ABC≡△DEF (SAS)


ASA
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠ABC=∠DEF,BC=EF及∠BCA=∠EFD,那麼△ABC≡△DEF (ASA)


AAS
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠CAB=∠FDE,∠ABC=∠DEF及BC=EF,那麼△ABC≡△DEF (AAS)


RHS
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠BCA=∠EFD=90°,AB=DE及BC=EF,那麼△ABC≡△DEF (RHS)


全等三角形的對應邊,全等三角形的對應角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果△ABC≡△DEF:
那麼AB=DE,BC=EF及CA=FD (全等三角形的對應邊)
那麼∠ABC=∠DEF,∠BCA=∠EFD及∠CAB=∠FDE (全等三角形的對應角)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 7:25 pm


相似三角形

AAA
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠ABC=∠DEF,∠BCA=∠EFD及∠CAB=∠FDE,那麼△ABC∼△DEF (AAA)


三邊成比例
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB/DE=BC/EF=CA/FD,那麼△ABC∼△DEF (三邊成比例)


兩邊成比例且夾角相等
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB/DE=CA/FD及∠CAB=∠FDE,那麼△ABC∼△DEF (兩邊成比例且夾角相等)


相似三角形的對應邊,相似三角形的對應角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果△ABC∼△DEF:
那麼AB/DE=BC/EF=CA/FD (相似三角形的對應邊)
那麼∠ABC=∠DEF,∠BCA=∠EFD及∠CAB=∠FDE (相似三角形的對應角)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 7:25 pm


直線上的鄰角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AOB是一條直線,那麼∠AOC+∠COB=180° (直線上的鄰角)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 7:25 pm


同頂角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AO,BO,CO,DO及EO相交於O,那麼∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=360° (同頂角)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
延伸AO至F,使AOF是一條直線。
AOF是一條直線 (已知)
∠AOE+∠EOD+∠DOF=180° (直線上的鄰角)
∠AOB+∠BOC+∠COF=180° (直線上的鄰角)
∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=(∠AOE+∠EOD+∠DOF)+(∠AOB+∠BOC+∠COF)
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=180°+180°=360°

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 7:26 pm


對頂角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB,CD相交於O,那麼∠AOC=∠BOD及∠AOD=∠BOC (對頂角)

證明
AOB及COD是條直線 (已知)
∠AOC+∠AOD=180° (直線上的鄰角)
∠AOD+∠BOD=180° (直線上的鄰角)
∠AOC+∠BOC=180° (直線上的鄰角)
∴∠AOC=∠BOD及∠AOD=∠BOC

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:33 pm


平行線
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:同一平面上兩條或以上兩兩永不相交的直線

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:33 pm


同位角,AB//CD
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB//CD,那麼∠EFB=∠FGD (同位角,AB//CD)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:33 pm


錯角,AB//CD
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB//CD,那麼∠AFG=∠FGD (錯角,AB//CD)

證明
AB//CD (已知)
∠AFG=∠EFB (對頂角)
∠EFB=∠FGD (同位角,AB//CD)
∴∠AFG=∠FGD

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:34 pm


同旁內角,AB//CD
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB//CD,那麼∠BFG+∠FGD=180° (同旁內角,AB//CD)

證明
AB//CD (已知)
∠EFB+∠BFG=180° (直線上的鄰角)
∠EFB=∠FGD (同位角,AB//CD)
∴∠BFG+∠FGD=180°

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:34 pm


同位角相等
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠EFB=∠FGD,那麼AB//CD (同位角相等)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:34 pm


錯角相等
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠AFG=∠FGD,那麼AB//CD (錯角相等)

證明
∠AFG=∠FGD (已知)
∠AFG=∠EFB (對頂角)
∴∠EFB=∠FGD
∴AB//CD (同位角相等)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 8:35 pm


同旁內角互補
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果∠BFG+∠FGD=180°,那麼AB//CD (同旁內角互補)

證明
∠BFG+∠FGD=180° (已知)
∠EFB+∠BFG=180° (直線上的鄰角)
∴∠EFB=∠FGD
∴AB//CD (同位角相等)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 10:12 pm


三角形內角和
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果ABC是一三角形,那麼∠ABC+∠BCA+∠CAB=180° (三角形內角和)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
穿過A畫一直線DE,使DAE//BC。
DE//BC (已知)
∠DAB=∠ABC (錯角,DE//BC)
∠EAC=∠BCA (錯角,DE//BC)
∠DAB+∠CAB+∠EAC=180° (直線上的鄰角)
∴∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 11:15 pm


三角形外角
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一三角形,如果延伸BC至D,那麼∠ACD=∠ABC+∠BAC (三角形外角)

證明
∠ACD+∠BCA=180° (直線上的鄰角)
∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° (三角形內角和)
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 11:35 pm


凸多邊形
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:每一個內角都小於180°的多邊形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 12:14 am


多邊形內角和
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
凸n邊形的內角和是(n-2)180° (多邊形內角和)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
在其中一頂點畫所有凸n邊形的對角線。
我們發現共劃分出(n-2)個三角形
三角形內角和是180° (三角形內角和)
∴凸n邊形的內角和是(n-2)180°

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 12:23 am


多邊形外角和
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
凸多邊形外角總和是360° (多邊形外角和)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
凸多邊形內角總和=(n-2)180° (多邊形內角和)
在任一隻平角而言:
內角+外角=180° (直線上的鄰角)
∵共有n隻外角 (已知)
∴共有n隻平角
∴凸多邊形外角總和=n隻平角-凸多邊形內角總和
∴凸多邊形外角總和=180°n-(n-2)180°=360°

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 12:42 am


直角三角形
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:三角形其中一隻角是直角

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 12:48 am


畢氏定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果ABC是一直角三角形,且∠ABC=90°,那麼AB2+BC2=CA2 (畢氏定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
畫一直角三角形CDE,使△ABC≡△CDE,且BCD成一直線。連AE。
設AB=c,BC=a,CA=b。
△ABC≡△CDE (已知)
∴AB=CD=c,BC=DE=a及CA=EC=b (全等三角形的對應邊)
∴∠CAB=∠ECD,∠ABC=∠CDE=90°及∠BCA=∠DEC (全等三角形的對應角)
∠BCA+∠CAB=180°-∠ABC=180°-90°=90° (三角形內角和)
∠BCA+∠ECD=180°-∠ACE (直線上的鄰角)
∴∠ACE=90°

梯形ABDE面積=(1/2)(AB+DE)(BD)=(1/2)(c+a)(a+c)=(1/2)(a+c)2
△ABC面積=△CDE面積=(1/2)(AB)(BC)=(1/2)ac
△ACE面積=(1/2)(AC)(CE)=(1/2)b2
∵梯形ABDE面積=△ABC面積+△CDE面積+△ACE面積
∴(1/2)(a+c)2=(1/2)ac+(1/2)ac+(1/2)b2
∴a2+2ac+c2=2ac+b2
∴a2+c2=b2
∴AB2+BC2=CA2

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 四月 09, 2003 1:12 am


畢氏定理的逆定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
如果AB2+BC2=CA2,那麼∠ABC=90° (畢氏定理的逆定理)

Raceleader
訪客
 






平面&空間幾何