[問題]平方和及3

[問題]平方和及3

--- 於 星期日 四月 06, 2003 11:04 am


證明x^2+y^2=3*z^2沒有正整數解

Very easy 啦

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訪客
 

scsnake 於 星期日 四月 06, 2003 11:52 am


一正整數的平方除以9的餘數只能為0,1,4
所以3*z^3≡0,3(mod9),但x^2+y^2≡0,1,4,5,8(mod9)
故x,y,z皆為3的倍數設x=3a,y=3b,3c
→9a^2+9b^2=27c^2→a^2+b^2=3c^2
故a,b,c也為一解∼且a<x,b<y,c<z
依此步驟,可得到無窮遞減但為正整數的解,矛盾∼
(無窮遞降法-----Fermat的最愛)

scsnake
訪客
 

Raceleader 於 星期日 四月 06, 2003 11:57 am


1000

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期日 四月 06, 2003 1:18 pm


scsnake 寫到:一正整數的平方除以9的餘數只能為0,1,4
所以3*z^3≡0,3(mod9),但x^2+y^2≡0,1,4,5,8(mod9)
故x,y,z皆為3的倍數設x=3a,y=3b,3c
→9a^2+9b^2=27c^2→a^2+b^2=3c^2
故a,b,c也為一解∼且a<x,b<y,c<z
依此步驟,可得到無窮遞減但為正整數的解,矛盾∼
(無窮遞降法-----Fermat的最愛)


Good job.
I think mod 3 is enough, and 無窮遞減 is not necessary. Just my opinion.

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訪客
 

scsnake 於 星期日 四月 06, 2003 2:00 pm


Can you post your answer?

scsnake
訪客
 

--- 於 星期日 四月 06, 2003 2:26 pm


"任何一個非空的自然數集合一定有一個最小元素",這叫作費馬歸元法原理.用此原理來證明
我們可以簡單的說,假設有一組自然數(a,b,c)滿足此式,則可以假設(a,b,c)=1
我們再看,因為a2除以3的餘數為0或1,b2也一樣,所以a2+b2 除以3的餘數為0,則a,b都是3的倍數;設a=3m,b=3n,代入原式後可得c也是3的倍數,矛盾.

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訪客
 




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