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Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期五四月 04, 2003 9:45 am

在三角形ABC，試證：∠A=2∠B當且僅當BC²=CA(CA+AB)。
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

---- · 由 **----** 於星期五四月 04, 2003 1:21 pm

Draw angle bisector of Angle A, meets BC at D.
Let DB=DA=b, BA=e, CA=d, CD=c.
Angle bisector theorem:
e/b=d/c
ec=bd
Stewart
e^2 c + d^2b=(b+c)(b^2+bc)
dbe+d^2b=b(b+c)^2
db(d+e)=b(b+c)^2
d(d+e)=(b+c)^2
Finished.
500~~

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期五四月 04, 2003 1:23 pm

500 ok
But no need to use stewart

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期五四月 04, 2003 1:26 pm

延伸CA到D，使CAD成一直線及AB=AD。

2∠ABC=∠CAB (已知)
AB=AD (已知)
∴∠ABD=∠ADB (等腰三角形底角)
∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠BDC (三角形外角)
∴∠ABC=∠BDC
∠BCA=∠DCB (公共角)
∴∠ABC=∠ABD
∠CBD=∠CBA+∠ABD=2∠CBA=∠CAB
∴△ABC～△BDC (AAA)
∴BC/AC=CD/BC (相似三角形的對應邊)
BC/AC=(CA+AD)/BC
BC/AC=(CA+AB)/BC
BC²=CA(CA+AB)

E.T · 由 **E.T** 於星期五四月 04, 2003 1:33 pm

What is " stewart " ?

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期五四月 04, 2003 1:38 pm

http://hk.geocities.com/mathsworld2001/prove/stewart.htm

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[數學]證明 - 500

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