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Searchtruth · 由 **Searchtruth** 於星期三四月 02, 2003 6:14 pm

f(x)=x^x , x>0
請問...f(x)是否為嚴格遞增函數?
是的話...可否寫出證明?

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期三四月 02, 2003 6:21 pm

x＞0
f(x)=x^x
f'(x)=x^x(lnx+1)

f'(x)=0
x^x(lnx+1)=0
lnx=-1 or x^x=0 (取消,因為x^x＞0,當x＞0)
x=1/e

f'(x)＜0,當0＜x＜1/e
f'(x)＞0,當x＞1/e
f(x)≧f(1/e), x＞0

因此
當0＜x≦1/e, f(x)為嚴格遞減函數
當x≧1/e, f(x)為嚴格遞增函數

scsnake · 由 **scsnake** 於星期三四月 02, 2003 6:23 pm

否，用微分判別吧～～

Searchtruth · 由 **Searchtruth** 於星期三四月 02, 2003 6:25 pm

嗯...如何對f(x)微分阿?!

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期三四月 02, 2003 6:28 pm

u, v are function of x:

y=u^v
dy/dx=vu^v-1(du/dx)+u^vln(u)(dv/dx)

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期三四月 02, 2003 6:29 pm

y=u^v
ln(y)=vln(u)

Differentiate both sides with respect to x.

Searchtruth · 由 **Searchtruth** 於星期三四月 02, 2003 6:31 pm

ㄜ...不懂!?@@"原因如下:
1.英文不好
2.程度不夠
嗯嗯...我現在還沒有學ln~這ㄍ東ㄒ跟㏒一樣ㄇ?只是底數不一樣而已?
一ㄍ是e~一ㄍ是10~ 是ㄇ?

---- · 由 **----** 於星期三四月 02, 2003 11:28 pm

ln 的底數是e
log的底數是10

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期三四月 02, 2003 11:31 pm

log(10)=ln(e)=1
log(1)=ln(1)=0

lnx=log_ex=logx/loge

logx=lnx/ln(10)

---- · 由 **----** 於星期三四月 02, 2003 11:36 pm

Could we use second deriative test for this question?

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期四四月 03, 2003 8:47 am

No need, we can foresee the trend of the function

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[數學]嚴格遞增函數?!

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