[試卷]2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

[試卷]2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

yll 於 星期一 三月 31, 2003 8:36 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<高中組>>初賽試卷 ㄏㄏㄏ

1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的120分鐘作答

4.請在120分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定看過試卷示例
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=2022

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時120分開始
看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
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[試題本文]祝好運

yll 於 星期一 三月 31, 2003 8:48 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

                

                           時間限制:120分鐘

   一、填充題,共50分,一題10分,只需有答案

   雖說是初賽比賽,但可不要因而鬆懈喔!請試解下列題目:

  【問題1】有一三位數,除以5則餘2,除以7則餘3,除以9餘4,求此數
            最大的值。

  【問題2】有3個數,它們的和是6,立方和是26,積是6,求這三個數的平
            方和?

  【問題3】解方程式x+y+z=0
x3+y3+z3=-18

x,y,z皆為整數求(x,y,z)

  【問題4】站在湖中小島的山峰上,看對岸的高峰仰角是30∘;看湖面,這
            高峰的鏡射,俯角為45∘;所站的山峰高度為250公尺(從湖面算
            起),試求對岸山峰高度?

  【問題5】試找出1*3*5*7*…*101的末兩位數

二、計算題,一題50分,共50分(要有算式!請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部分
    分數)

  【第一題】在整數中,有可以用「兩個以上的連續正整數之和」的形式表示
            的方法。
            例如:9是9=4+5
                      9=2+3+4
            像這樣用「兩個以上的連續正整數之和」表示的方法只有2種。
            那請利用這樣的表示法,找出只有6種表示方法的整數中最小的整數。

yll
帥哥良~
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Raceleader 於 星期四 四月 03, 2003 10:15 am


問題1:787

問題2:116/9

問題3:(1,2,-3),(1,-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,1,2) or (-3,2,1)

問題4:250(√3+2)m

問題5:75

第一題:
Let the smallest number be k:
Since it has 6 types consecute sum, we can write as follows:
k=a+(a+1)=2a+1
k=b+(b+1)+(b+2)=3a+3
k=c+(c+1)+(c+2)+(c+3)=4c+6
k=d+(d+1)+(d+2)+(d+3)+(d+4)=5d+10
k=e+(e+1)+(e+2)+(e+3)+(e+4)+(e+5)=6e+15
k=f+(f+1)+(f+2)+(f+3)+(f+4)+(f+5)+(f+6)=7f+21

but 4c+6 must be even, and 2a+1 and 6e+15 must be odd, so we delete 4c+6, then add:
k=g+(g+1)+(g+2)+(g+3)+(g+4)+(g+5)+(g+6)+(g+7)=8g+28
this can also be deleted because it must be even, so we add:
k=h+(h+1)+(h+2)+(h+3)+(h+4)+(h+5)+(h+6)+(h+7)+(h+8)=9h+36

from 3a+3, 5d+10, 7f+21 and 9h+36, we know that k is the multiple of 315.
We found that when k=315, then (a,b,d,e,f,h)=(157,104,61,50,42,31)
So, the smallest number is 315

Raceleader
訪客
 

劍無痕 於 星期四 四月 03, 2003 2:35 pm


填充題
1)787
2)116/9
3)(x,y,z)=(1,2,-3),(1,-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,1,2),(-3,2,1)
4)933.01公尺(取值至小數點後2位)
5)25

-------------------------
計算題

設所求的數為M,而M的其中一個表示法是n個連續奇正整數之和(偶數等一下再討論)
即M=k1+k2+k3+...+kn
從上式可見右邊算式中正中間的數k(n+1)/2=M/n
而k(n-1)/2+k(n+3)/2=2M/n
k(n-3)/2+k(n+3)/2=2M/n
.....
所以右邊算式其實等於M/n+(2M/n+2M/n+...)=M
其中2M/n有(n-1)/2個

而M/n是整數
即是"若M能表示成n個連續正整數之和,則M是n的倍數"

-----------------------------
現在討論n是偶數的情況

設M=k1+k2+...+kn(n是偶數)
則可把右邊算式分成n/2組
第一組k1,kn
第二組k2,kn-1
....
第n/2組kn/2-1,kn/2+1
可見每組數字之和都是2M/n

即是"若M能表示成n個連續正整數之和,則2M是n的倍數"
-----------------------------
得到以上結論之後,現在要做的事,就是要找出符合紅色兩句的數字M中最小的一個
經試驗,發現315是其中最小的數(可表示成2個,3個,5個,6個,7個,9個正整數之和)

劍無痕
訪客
 

---- 於 星期四 四月 03, 2003 2:45 pm


1.設此數為5a+2,
5a+2=3(mod 7)
   5a=1(mod 7)
5a=15(mod 7)
a=3(mod 7)
設a=7b+3,則此數為5(7b+3)+2=35b+17
35b+17=4(mod 9)
-b-1=4(mod 9)
b=4(mod 9)
設b=9c+4,則此數為315c+157.
因此數為3位數,故c=0,1,2.
最大值在c=2時取得,答案為315(2)+157=787.

2.
設三數為a,b,c。
a^3+b^3+c^3=26
a^3+b^3+c^3-3abc=8
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=8
(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]=8
6(36-3(ab+bc+ca))=8
18(12-(ab+bc+ca))=8
12-(ab+bc+ca)=4/9
ab+bc+ca=104/9
a^2+b^2+c^2
=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=36-208/9
=116/9.

3.
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
-3xyz-18=0
xyz=-6
(x,y,z)=(1,2,-3)

4.
500/(sqrt3-1)

5.
1*3*...*101
=1*(-1)*3*(-3)*...*(49)*(-49)*1 (mod 100)
=-(1^2+....+49^2) (mod 100)
=-25^2(mod 100)
=-625(mod 100)
=75(mod 100)
所以答案是75

1.設首項為a,末項為a+k-1,此數為n,則有
(a+a+k-1)k/2=n
(2a+k-1)k=2n
現在有6種方法,即(2a+k-1,k)有六組解,其中2a+k-1>k。
因(k, 2a+k-1)=(2,n)為其中一種方法。只需再找五種
為了使n最小,可以由小試起。
若n=p^2,則有兩種
若n=p1^2*p2, 則有五種
若n=p1^2*p2*p3,最少為2^2*3*5,超過6種,
則n必為p1^m*p2
若m=3,最少者為2^3*3,只有四種,其他都有五種
若m=4,最少者為2^4*3,只有五種,其次為3^4*2,剛好有六種,故此數即為答案
n=162

----
訪客
 

於 星期五 四月 04, 2003 11:15 pm


(1)
1.787
2.116/9
3.(1,2,-3),(1,-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,1,2),(-3,2,1)
4.315
5.25
(2)
105

訪客
 

heron0520 於 星期日 四月 06, 2003 9:36 am


1.787
2.31/3
3.(1,2,-3),(1.-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,2,1),(-3,1,2)
4.933
5.25

1.

heron0520

 
文章: 403
註冊時間: 2003-03-31

mz 於 星期日 四月 06, 2003 1:00 pm


1.787
2.36-(208/9)
3.(1,2,-3)
4.250+(500*SQR(3)/3) 註:sqr開根號的意思,因為我打不出來

mz
訪客
 

Tassader-VIII 於 星期日 四月 06, 2003 5:37 pm


一.填充
[問題一]887
[問題二]0
[問題三]我不會.... 難過到哭
[問題四]500+250*(3)^(1/2)公尺
[問題五]75
二.計算
我不會.... 難過到哭

Tassader-VIII
訪客
 

Herbie 於 星期日 四月 06, 2003 6:07 pm


還是什麼都沒有

Herbie

 
文章: 841
註冊時間: 2003-01-16
來自: 港都-打狗

AJ Andy 於 星期二 四月 08, 2003 8:33 pm


A part fill in the blanks:
1. 787
2. 116/9
3. don't know
4. (-250*sqrt(3)-250)/(1-sqrt(3))
5. 75

B part don't know

AJ Andy
訪客
 

Re: [試題本文]祝好運

Searchtruth 於 星期三 四月 09, 2003 9:45 pm


yll 寫到:[hide:31e5352fb5]
         2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

                

                           時間限制:120分鐘

   一、填充題,共50分,一題10分,只需有答案

   雖說是初賽比賽,但可不要因而鬆懈喔!請試解下列題目:

  【問題1】有一三位數,除以5則餘2,除以7則餘3,除以9餘4,求此數
            最大的值。

  【問題2】有3個數,它們的和是6,立方和是26,積是6,求這三個數的平
            方和?

  【問題3】解方程式x+y+z=0
x3+y3+z3=-18

x,y,z皆為整數求(x,y,z)

  【問題4】站在湖中小島的山峰上,看對岸的高峰仰角是30∘;看湖面,這
            高峰的鏡射,俯角為45∘;所站的山峰高度為250公尺(從湖面算
            起),試求對岸山峰高度?

  【問題5】試找出1*3*5*7*…*101的末兩位數

二、計算題,一題50分,共50分(要有算式!請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部分
    分數)

  【第一題】在整數中,有可以用「兩個以上的連續正整數之和」的形式表示
            的方法。
            例如:9是9=4+5
                      9=2+3+4
            像這樣用「兩個以上的連續正整數之和」表示的方法只有2種。
            那請利用這樣的表示法,找出只有6種表示方法的整數中最小的整數。


[/hide:31e5352fb5]

一.
(1)787
(2)103/6
(3)(a,b,c)=(-3,1,2)  ,(a,b,c對此題為對稱..可以互換)
(4)250(√(3)+1)
(5)25
二.
明顯看出
如果此數為兩連續正整數之和
=>此數必為2k+1之形式 , k為自然數
如果此數為三連續正整數之和
=>此數必為3k+3之形式
如果此數為四連續正整數之和
=>此數必為4k+6之形式(不合∵其必為偶)
如果此數為五連續正整數之和
=>此數必為5k+10之形式
如果此數為六連續正整數之和
=>此數必為6k+15之形式
如果此數為七連續正整數之和
=>此數必為7k+21之形式
如果此數為八連續正整數之和
=>此數必為8k+28之形式(不合∵其必為偶)
如果此數為九連續正整數之和
=>此數必為9k+36之形式
稍微計算一下~
同時符合這六種形式的形式為
630k+315之形式
所求=630*1+315
      =945

A: 945

Searchtruth
訪客
 

紅樓子 於 星期六 四月 12, 2003 10:54 pm


1.787

2.116 / 9

3.(1,2,-3),(2,-3,1),(-3,1,2)

4.250(2+sq(3))

5.25

紅樓子
訪客
 

yptsoi 於 星期日 四月 13, 2003 2:03 am


************************************************************
2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷
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時間限制:120分鐘

一、填充題,共50分,一題10分。
(1). 787
(2). 116/9
(3). (-3,2,1)
(4). 500/(sqrt3-1)
(5). 75

二、計算題,一題50分,共50分。
(1). 105
用列舉法,由1數起,一個一個試驗。

yptsoi
訪客
 

superleo 於 星期日 四月 13, 2003 3:56 pm


1) 652
2) 14
3) (3,-2,-1)
4) 933
5) 75

6) 算不出來........數學太爛了

superleo

 
文章: 615
註冊時間: 2003-02-27
來自: 香港

E.T 於 星期日 四月 13, 2003 4:18 pm


棄權 other question 我現在有事

3.    -1,-2,3
4.    about 183
5.    75
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E.T

 
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