[數學]證明AB=CD
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[數學]證明AB=CD
由 Raceleader 於 星期一 三月 31, 2003 7:11 pm
圖中，X，Y，Z分別是三個不相等的圓的圓心，且XYZ成一直線，及XY=YZ。ABCD成一直線，且B，C是兩圓的交點，證明AB=CD。
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Raceleader - 訪客
由 scsnake 於 星期四 四月 03, 2003 6:05 pm
用解析不會很難：
設Y為原點，Z(a,0),X(-a,0),YC=1，B(cos(t),sin(t)),C(cos(s),sin(s))
則圓X:(x+a)2+y2=a2+1+2acos(t)，圓Z:(x-a)2+y2=a2+1-2acos(s)，而直線BC:(y-cos(t))=((sin(t)-sin(s))/(cos(t)-cos(s)))(x-sin(t))→y=px+q(為書寫及記算方便)
將直線方程y=px+q代入兩圓的方程式，如果兩方程式之判別式相同，則AB之水平距離和CD之水平距離相同，即AB=CD
X:(p2+1)x2+2(pq+a)x+(q2-1-2acos(t))=0
Z:(p2+1)x2+2(pq-a)x+(q2-1+2acos(s))=0
D1:a2+p2-q2+1+2a(pq+p2cos(t)+cos(t))
D2:a2+p2-q2+1-2a(pq+p2cos(t)+cos(t))
所以只要證pq+(p2+1)cos(t)=0就好了，也只要展開消一消就好了^^
總之，我還是想要綜合幾何的做法∼解析幾何還是略嫌麻煩...
設Y為原點，Z(a,0),X(-a,0),YC=1，B(cos(t),sin(t)),C(cos(s),sin(s))
則圓X:(x+a)2+y2=a2+1+2acos(t)，圓Z:(x-a)2+y2=a2+1-2acos(s)，而直線BC:(y-cos(t))=((sin(t)-sin(s))/(cos(t)-cos(s)))(x-sin(t))→y=px+q(為書寫及記算方便)
將直線方程y=px+q代入兩圓的方程式，如果兩方程式之判別式相同，則AB之水平距離和CD之水平距離相同，即AB=CD
X:(p2+1)x2+2(pq+a)x+(q2-1-2acos(t))=0
Z:(p2+1)x2+2(pq-a)x+(q2-1+2acos(s))=0
D1:a2+p2-q2+1+2a(pq+p2cos(t)+cos(t))
D2:a2+p2-q2+1-2a(pq+p2cos(t)+cos(t))
所以只要證pq+(p2+1)cos(t)=0就好了，也只要展開消一消就好了^^
總之，我還是想要綜合幾何的做法∼解析幾何還是略嫌麻煩...
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scsnake - 訪客
由 Raceleader 於 星期四 四月 03, 2003 6:06 pm
Answering rule:
without using trigonometry and coordinate geometry here
without using trigonometry and coordinate geometry here
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Raceleader - 訪客
由 Raceleader 於 星期一 七月 07, 2003 3:11 pm
I think it should be intercept theorem rather than equal ratios 
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Raceleader - 訪客
由 Raceleader 於 星期二 七月 08, 2003 9:46 am
P，Q，R分別在AD上，使XP，YQ及ZR分別垂直AD。連XP，YQ及ZR。
∠XPA=∠YQB=∠ZRC=90° (已知)
∴XP//YQ//ZR (同位角相等)
∵XY=YZ (已知)
∴PQ=QR (截線定理)
∴PB+BQ=QC+CR
∵BQ=QC (圓心至弦的垂線平分弦)
∴PB=CR
∵AP=PB (圓心至弦的垂線平分弦)
∵CR=RD (圓心至弦的垂線平分弦)
∴AP=PB=CR=RD
∴AB=CD
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Raceleader - 訪客
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