三角形ABC中,∠ABC=45°。D是BC上其中一點,使BD:DC=1:2,∠BAD=15°,求∠BCA。
F在AD上,使BD=FD,G在DC上,使DG=GC。連BF,CF及GF。
∠ADC=∠ABD+∠BAD=45°+15°=60° (三角形外角)
BD=DF (已知)
DG=GC (已知)
2BD=DC (已知)
∴BD=DF=DG=GC
∴∠DFG=∠DGF (等腰三角形底角)
∠DFG+∠DGF+∠FDG=180° (三角形內角和)
2∠DFG=180°-60°
∴∠DFG=∠DGF=60°
∴△FDG是一等邊三角形
∴FD=DG=GF (等邊三角形性質)
∴BD=DF=DG=GF=GC
∠DBF=∠DFB (等腰三角形底角)
∠FDG=∠DBF+∠DFB (三角形外角)
2∠DBF=60°
∴∠DBF=∠DFB=30°
∠ABF=∠ABD-∠DBF=45°-30°=15°
∴∠ABF=∠FAB=15°
∴FA=FB (等角對邊相等)
∠GCF=∠GFC (等腰三角形底角)
∠FGD=∠GCF+∠GFC (三角形外角)
2∠GCF=60°
∴∠GCF=∠GFC=30°
∴FB=FC (等角對邊相等)
∴FA=FC
∴∠FAC=∠FCA (等腰三角形底角)
∠AFC=∠FDC+∠FCD=60°+30°=90° (三角形外角)
∠FAC+∠FCA=180°-∠AFC (三角形內角和)
2∠FCA=90°
∴∠FAC=∠FCA=45°
∴∠BCA=∠BAF+∠FCA=30°+45°=75°