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三角形ABC中，∠ABC=45°。D是BC上其中一點，使BD:DC=1:2，∠BAD=15°，求∠BCA。

通過A點做BC的高交BC於E點（E圖中漏標）
設DE為x，根據題目的條件，不難得到AE=√3x.BD=(√3-1)x.EC=(2√3-3)x
做∠ABF=60°交AE延長線於F點（F圖中漏標），則∠CBF=15°.∠BFE=75°.
∠BEF=90°。
三角形BEF內角為15-75-90，所以EF:BE:BF=(√6-√2): (√6+√2):4
因為BE=√3x所以EF=(2√3-3)x此時發現三角形BEF全等於三角形AEC(SAS)，所以∠BCA=∠AFB=75°
對的話要給錢錢唷！

但我有一個方法不用計所有長度
You think think again

三角形ABC中，∠ABC=45°。D是BC上其中一點，使BD:DC=1:2，∠BAD=15°，求∠BCA。

F在AD上，使BD=FD，G在DC上，使DG=GC。連BF，CF及GF。

∠ADC=∠ABD+∠BAD=45°+15°=60° (三角形外角)
BD=DF (已知)
DG=GC (已知)
2BD=DC (已知)
∴BD=DF=DG=GC
∴∠DFG=∠DGF (等腰三角形底角)
∠DFG+∠DGF+∠FDG=180° (三角形內角和)
2∠DFG=180°-60°
∴∠DFG=∠DGF=60°
∴△FDG是一等邊三角形
∴FD=DG=GF (等邊三角形性質)
∴BD=DF=DG=GF=GC

∠DBF=∠DFB (等腰三角形底角)
∠FDG=∠DBF+∠DFB (三角形外角)
2∠DBF=60°
∴∠DBF=∠DFB=30°
∠ABF=∠ABD-∠DBF=45°-30°=15°
∴∠ABF=∠FAB=15°
∴FA=FB (等角對邊相等)

∠GCF=∠GFC (等腰三角形底角)
∠FGD=∠GCF+∠GFC (三角形外角)
2∠GCF=60°
∴∠GCF=∠GFC=30°
∴FB=FC (等角對邊相等)
∴FA=FC
∴∠FAC=∠FCA (等腰三角形底角)

∠AFC=∠FDC+∠FCD=60°+30°=90° (三角形外角)
∠FAC+∠FCA=180°-∠AFC (三角形內角和)
2∠FCA=90°
∴∠FAC=∠FCA=45°
∴∠BCA=∠BAF+∠FCA=30°+45°=75°

SCTT 1000