YLL討論網

[數學]21個邊長...10000元^^

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 5:19 pm

21個邊長

上圖是一個由21個正方形組成的大正方形
21個邊長都是不同的整數
求21個邊長
a=
b=
c=
...
u=   

請詳列作法10000元
引用定理或公式只有1000元
別只有答案啊...一毛都沒的

由 劍無痕 於 星期二 三月 18, 2003 5:21 pm

我可不想為了5000元而死了幾十萬腦細胞
  

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 5:22 pm

呵
沒這麼難啦
修正為10000元

由 ---- 於 星期二 三月 18, 2003 6:04 pm

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 6:35 pm

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 6:39 pm

改好了

由 Raceleader 於 星期二 三月 18, 2003 6:41 pm

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 6:41 pm

由 Raceleader 於 星期二 三月 18, 2003 6:43 pm

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 6:43 pm

由 Raceleader 於 星期二 三月 18, 2003 6:44 pm

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 6:45 pm

由 Raceleader 於 星期二 三月 18, 2003 6:50 pm

由 yll 於 星期二 三月 18, 2003 6:52 pm

由 Raceleader 於 星期二 三月 18, 2003 6:55 pm

由 劍無痕 於 星期二 三月 18, 2003 6:58 pm

Raceleader 寫到:小弟當然沒有那麼多錢買正版(我都想買)

壞壞~~
  

由 ---- 於 星期二 三月 18, 2003 7:12 pm

由 Raceleader 於 星期三 三月 19, 2003 1:02 am

設n的邊長為x，o的邊長為y，利用[a]代表a的邊長，如此類推。

[n]=x
[o]=y
[m]=[n]+[o]=x+y
[q]=[m]+[o]=x+2y
[l]=[m]+[q]=2x+3y
[k]=[l]+[s]=2x+3y+[s]
=[k]+[s]=2x+3y+2[s]
[t]=+[s]=2x+3y+3[s] ---(1)

但另一方面，[t]=[l]+[q]-[s]
[t]=[l]+[q]-[s]=3x+5y-[s] ---(2)
解(1)及(2)，得：
[s]=(1/4)(x+2y)，[t]=(1/4)(11x+18y)
因此[k]=(1/4)(9x+14y)，=(1/2)(5x+8y)

[e]=[d]+[h]
[c]=[d]+[e]=2[d]+[h]
=[c]+[d]=3[d]+[h]
∵+[c]+[a]=[a]+[k]+=大正方形邊長
∴+[c]=[k]+
5[d]+2[h]=(1/4)(19x+30y) ---(3)

=[f]+[g]+[h]-[d]
3[d]+[h]+[d]-[h]=[f]+[g]
[f]+[g]=4[d] ---(4)
[f]+[n]=[g] ---(5)
(4)+(5)：2[f]+[n]=4[d]
2[f]=4[d]-x

+[f]=[a] ---(6)
[a]+[f]=[k]+[l]+[m]+[n]=(1/4)(25x+30y) ---(7)
(7)+(8)：+2[f]=(1/4)(25x+30y)
3[d]+[h]+4[d]-x=(1/4)(25x+30y)
7[d]+[h]=(1/4)(29x+30y) ---(8)

解(3)及(8)，得：
[d]=(1/12)(13x+10y)，[h]=(1/3)(5y-x)，因此：
[a]=(1/12)(55x+70y)
=(1/12)(35x+50y)
[c]=(1/6)(11x+20y)
[e]=(1/4)(3x+10y)
[f]=(5/3)(x+y)
[g]=(1/3)(8x+5y)

=[g]-[h]=3x
[p]=+[g]+[n]-[o]=(2/3)(10x+y)
[j]=+[p]=(1/3)(29x+2y)
[r]=[j]+[p]=(1/3)(49x+4y)

大正方形邊長=+[t]+[r]=(1/12)(259x+118y)
大正方形邊長=[a]+[k]+=(1/3)(28x+40y)
∴(1/3)(28x+40y)=(1/12)(259x+118y)
112x+160y=259x+118y
147x=42y
7x=2y
x:y=2:7

把x=2及y=7代入所有小正方形，發現所有邊長都是整數，再檢查答案，符合題要，因此：
[a]=50
=35
[c]=27
[d]=8
[e]=19
[f]=15
[g]=17
[h]=11
=6
[j]=24
[k]=29
[l]=25
[m]=9
[n]=2
[o]=7
[p]=18
[q]=16
[r]=42
[s]=4
[t]=37
=33

I can get 10000    (I have given)