[問題]三角函數

[問題]三角函數

浩浩 於 星期五 八月 06, 2004 7:57 pm


在三角形ABC中, 解下列各不等式

(1)sinA+sinB+sinC≦3√3/2

(2)cscA+cscB+cscC≧2√3

(3)1<cosA+cosB+cosC≦3/2

(4)cotA.cotB.cotC≦√3/9

(5)cotA+cotB+cotC≧√3

(6)sin^2A+sin^2B+sin^2C≦9/4

(7)cot^2A+cot^2B+cot^2C≧1
以下是我的證明
(1)
證明此提我先引用另一個不等式
3sin[(A+B+C)/3]>=sinA+sinB+sinC
所以利用引用的不等式,且A+B+C=180度,所以知道
sinA+sinB+sinC<=3sin60度=3√3/2,得證.
(6)
把原式變形,原式=(1-cosA)/2 +(1-cosB)/2 +(1-cos^2C)
=2-cos(A+B)cos(A-B)-cos^2C
=2+cosCsoc(A-B)-cos^2C<=2+|cosC|-cos^C=-(|cosC|-1/2)^2+9/4
當cosC=1/2時(及A=B=C=60度時)有最大值9/4 ,得證.

這7題好像是有連貫性的,誰能幫我補齊一下?謝謝.
Fernando Tan
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浩浩
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來自: 數之領域

danny 於 星期一 六月 29, 2009 11:14 pm


(3) cosA+cosB=2cos[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]
                      =2cos[(A-B)/2]*sin[C/2]
                    <=2sin(C/2)
cosA+cosB+cosC<=2sinC/2+1-2[sin(C/2)]^2
                          <=-2[sin(C/2)-1/2]^2+3/2<=3/2

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danny 於 星期一 六月 29, 2009 11:15 pm


(5) (cotA)2+(cotB)2+(cotC)2+2(cotAcotB+cotBcotC+cotAcotC)>=3
     (cotA+cotB+cotC)>=√3
(7) A+B+C=pi,cotAcotB+cotBcotC+cotAcotC=1
     (cotA)2+(cotB)2+(cotC)2>=cotAcotB+cotBcotC+cotAcotC=1
(2) (cscA+cscB+cscC)(sinA+sinB+sinC)>=9
      (cscA+cscB+cscC)>=9/(sinA+sinB+sinC)>=18/3√3=2√3
(3)A+B+C=pi,sin(C/2)=cos(pi/2-C/2)=cos[(A+B)/2]
cosA+cosB+cosC=2cos(A-B)/2*cos[(A+B)/2]+1-2[sin(C/2)]^2
                           =2cos(A-B)/2*sinC/2-sinC/2*cos[(A+B)/2]+1
                           =1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)>1

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數學挑戰題之『未解的難題』