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ABCD是一個四邊形，∠ADB=12°，∠ACB=24°，∠BDC=36°，∠ACD=48°，求∠ABD=？

點F在四邊形ABCD外，使DF=AD，CF=AB，連AF，CF及DF。

∠DCB=∠DCA+∠ACB=48°+24°=72°
∠DBC=180°-∠BDC-∠DCB=180°-36°-72°=72° (三角形內角和)
∴DB=DC (底角對邊相等)
BA=CF (已知)
AD=FD (已知)
∴△DBA≡△DCF (SSS)
∴∠FDC=∠ADB=12° (全等三角形的對應角)
∠ADF=∠ADB+∠BDC+∠CDF=12°+36°+12°=60°
∠DAF=∠DFA (等腰三角形底角)
∴∠DAF+∠DFA+∠ADF=180° (三角形內角和)
2∠DAF+60°=180°
∠DAF=∠DFA=60°
∴△ADF是一等邊三角形
∴AD=DF=FA (等邊三角形特性)

∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=12°+36°=48°=∠ACD
∴AC=AD (底角對邊相等)
∴AF=AC
∴∠AFC=∠ACF (等腰三角形底角)
∠DAC=180°-∠ADC-∠ACD=180°-48°-48°=84° (三角形內角和)
∴∠FAC=∠DAC-∠DAF=84°-60°=24°
∴∠AFC+∠ACF+∠FAC=180° (三角形內角和)
2∠ACF+24°=180°
∠ACF=∠AFC=78°
∠FCD=∠ACF-∠ACD=78°-48°=30°
∴∠ABD=∠FCD=30° (全等三角形的對應角)

點E在四邊形ABCD外，使AE=AD，BE=BD。連AE，BE及CE。

AB=AB (公共邊)
BE=BD (已知)
EA=DA (已知)
∴△ABE≡△ABD (SSS)
∴∠ABE=∠ABD=12° (全等三角形的對應角)
∴∠BEA=∠BDA (全等三角形的對應角)

∠EBC=∠EBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°
BE=BD (已知)
∠BCD=∠BCA+∠ACD=48°+24°=72°
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD (三角形內角和)
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°
∴∠BDC=∠BCD=72°
∴BC=BD (等角對邊相等)
∴BC=BE
∴∠BCE=∠BEC (等腰三角形底角)
∠BCE+∠BEC=180°-∠EBC (三角形內角和)
2∠BEC=180°-60°=120°
∴∠BCE=∠CEB=∠EBC=60°
∴△BCE是一等邊三角形
∴BC=CE=EB (等邊三角形性質)

∠ABC=∠ABD+∠DBC=12°+36°=48°
∴∠ABC=∠ACB=48°
∴AB=AC (等角對邊相等)
BE=CE (等邊三角形性質)
EA=EA (公共邊)
∴△ABE≡△ACE (SSS)
∴∠BEA=∠CEA (全等三角形的對應角)

∠BEA+∠CEA=∠CEB=60°
2∠BEA=60°
∠BEA=30°
∵△ABE≡△ABD (已證)
∴∠ADB=∠AEB=30°

I found out the 2nd method last night
Can find out the third, fourth,... ways?
Any other idea?