若x,y,z>0
求證(y/(y+x))^2+(z/(z+y))^2+(x/(x+z))^2 >=3/4
[數學]不等式
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由 雞腿飯 於 星期一 五月 31, 2004 11:54 pm
雞腿飯有一個方法但是爛爛的.
[hide:7c0d7b228a]簡單說, let a=ln(x/y), b=ln(y/z),c=ln(z/x)
a+b+c=0
左式=1/(1+e^a)^2+...+...
let f(s)=1/(1+e^s)^2
f'(s)=-2e^s/(1+e^s)^3 <0
f"(s)=(4e^s-2)*e^s/(1+e^s)^4
let a<=b<=c
(1) when a>=ln(1/2), 最小值存在於a=b=c=0 (because f"(s)>=0, 凸函數)
(2) when a<=ln(1/2)<=b, 最小值存在於b=c=-a/2; 代回左式驗算: 左式=g(x)=x^4/(1+xx)^2+2/(1+x)^2; g'(x)=4(x-1)(3x^4+3x^3+4x^2+x+1)/(1+x^2)^3/(1+x)^3; when x>0, g的最小值在g'(x)=0(即x=y=z=1),so 左式>=3/4
(3) when a<=b<=ln(1/2): because f'(s)<0, 左式>1/(1+1/2)+1/(1+1/2)=4/3 > 3/4
[/hide:7c0d7b228a]
[hide:7c0d7b228a]簡單說, let a=ln(x/y), b=ln(y/z),c=ln(z/x)
a+b+c=0
左式=1/(1+e^a)^2+...+...
let f(s)=1/(1+e^s)^2
f'(s)=-2e^s/(1+e^s)^3 <0
f"(s)=(4e^s-2)*e^s/(1+e^s)^4
let a<=b<=c
(1) when a>=ln(1/2), 最小值存在於a=b=c=0 (because f"(s)>=0, 凸函數)
(2) when a<=ln(1/2)<=b, 最小值存在於b=c=-a/2; 代回左式驗算: 左式=g(x)=x^4/(1+xx)^2+2/(1+x)^2; g'(x)=4(x-1)(3x^4+3x^3+4x^2+x+1)/(1+x^2)^3/(1+x)^3; when x>0, g的最小值在g'(x)=0(即x=y=z=1),so 左式>=3/4
(3) when a<=b<=ln(1/2): because f'(s)<0, 左式>1/(1+1/2)+1/(1+1/2)=4/3 > 3/4
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[數學]最強的過客終於有帳號囉
由 最強的過客 於 星期五 二月 04, 2005 12:39 pm
這題不用解拉因為不等式極值產生於等號成立時
所以那個時候X會=Y會=Z=T
所以題目就變成(T/2T)^2+(T/2T)^2+(T/2T)^2
所以就是三倍的二分之一的平方就是3*1/4=3/4
所以那個時候X會=Y會=Z=T
所以題目就變成(T/2T)^2+(T/2T)^2+(T/2T)^2
所以就是三倍的二分之一的平方就是3*1/4=3/4
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[其它]真是的我已經提供最快的算法了居然沒有人要理我
由 最強的過客 於 星期六 二月 05, 2005 9:48 am
真是的我已經提供最快的算法了居然沒有人要理我我的方法真的可以用拉
不信下次隨便拿個不等式他們問你極值是多少的時候全部代成t試試看
不信下次隨便拿個不等式他們問你極值是多少的時候全部代成t試試看
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由 hycheah2000 於 星期三 六月 08, 2005 2:19 pm
最強的過客 寫到:這個想法不是錯的，但你未能證明3/4是原式的最小值
一個不等式大於等於一個數值代表那個數值是那個不等式的"最小值"
而"極值"(最大或最小)產生於等號成立時 也就是左式等於右式
這個時候"最小值"出現∵等號成立時每個(元)會相等~~~
也就是說 (y/(y+x))=(z/(z+y))=(x/(x+z))這個用看的也知道是1/2=1/2=1/2
所以當然全部先平方再相加當然等於3/4阿
只能說,等號成立時每個(元)會相等這個觀念對大部分不等式成立
不能拿來證明,最多拿來判斷命題是否有問題而已
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