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ABCD是一個梯形，AD//BC。已知BC=BD=1，AB=AC，CD＜1及∠BAC+∠BDC=180°，求CD的長度。

E及F在BC上，使BE=CF=AD。連AE及AF。

AB=AC (已知)
AC=CA (公共邊)
∴AB=AC=CA
AD//BC (已知)
∠ABE=∠ACF (等腰三角形底角)
∠ACF=∠CAD (內錯角，AD//BC)
∴∠ABE=∠ACF=∠CAD
∵BE=CF=AD (已知)
∴△ABE≡△ACF≡△CAD (SAS)
∴EA=FA=DC (全等三角形的對應邊)
∴∠EAB=∠FAC=∠DCA (全等三角形的對應角)

∠ABC+∠BCA+∠CAB=180° (三角形內角和)
∠BAC+∠BDC=180° (已知)
∴∠ABC+∠BCA=∠BDC
∴2∠BCA=∠BDC
BC=CD=1 (已知)
∴∠BCD=∠BDC=2∠BCA (等腰三角形底角)
∴∠ACD=∠BCA
∴∠ACD=∠CAD
∴DA=DC (底角對邊相等)
∴EB=EA=FA=FC=DA=DC
∴∠EAB=∠EBA=∠FAC=∠FCA=∠DAC=∠DCA

∠AEF=∠EAB+∠EBA=2∠BCA (三角形外角)
∠AFE=∠AEF=2∠BCA (等腰三角形底角)
∴∠AFE=∠AEF=∠BCD=∠BDC
∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF (三角形內角和)
∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC (三角形內角和)
∴∠EAF=∠CBD
∴△EAF∼△CBD (AAA)
AE/EF=BC/CD (相似三角形的對應邊)

設CD=x，那麼EB=EA=FA=FC=DA=DC=x
x/EF=1/x
EF=x²
BC=BE+EF+FC
1=x+x²+x
x²+2x-1=0
x=√2-1 或 x=-√2-1 (取消)
∴CD=√2-1

求|CD|

set B=0, C=1
A=1/2+ai
D=d+ai; aa+dd=1
2(90-∠ABC)+∠BCD=180°
AD=DC

(d-0.5)^2=(1-d)^2+a^2
4dd+4d-7=0
d=(-1+sqrt(8))/2
|CD|=d-0.5=sqrt2-1