[數學]不會 教一下

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dick7834 於 星期一 四月 05, 2004 8:05 pm


求出所有這樣的三位數N 使N可被11整除 且N/11等於N的各位數字的平方和

dick7834
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kaseikami 於 星期日 十二月 05, 2004 2:10 am


令 N = 100 * a + 10 * b + c

a - b + c = 11 * k ( k = 0 or 1 )

a^2 + b^2 + c^2 = 100 * a / 11 + 10 * b / 11 + c / 11

=> a^2 + b^2 + c^2 = 9 * a + b + k

(I) k = 0 => a + c = b

=> a^2 + ( a + c )^2 + c^2 = 9 * a + ( a + c )

=> 2 * a^2 - 10 * a + 2 * c^2 - c + 2 * a * c = 0

=> 2 * a^2 + ( 2 * c - 10 ) * a + 2 * c^2 - c = 0

2 = A , 2 * c - 10 = B , 2 * c^2 - c = C

B^2 - 4 * A * C = 4 * c^2 - 40 * c +100 - 16*c^2 + 8 * c

= -12* c^2 - 32 * c + 100 >= 0 且左式需為完全平方數

所以滿足條件的 c = 0 => a = 5 , b = 5 => N = 550

(II) k = 1 => a + c - 11 = b

=> a^2 + ( a + c - 11 )^2 + c^2 = 9 * a + ( a + c - 11 )

=> 2 * a^2 + ( 2 * c - 32 ) * a + 2 * c^2 - 23 * c + 110 = 0

2 = A , 2 * c - 32 = B , 2 * c^2 - 23 * c = C

B^2 - 4 * A * C = -12 * c^2 + 56 *c + 1024 >= 0 且左式需為完全平方數

滿足條件的 c 無解

所以 N = 550 #

kaseikami

 
文章: 21
註冊時間: 2004-12-03

piny 於 星期一 十月 24, 2005 2:03 pm


(100X+10Y+Z)/11=X.X+Y.Y+Z.Z
X+Z-Y=0或11或-11

當X+Z-Y=0時,代入第一式
(100X+10X+10Z+Z)/11=X.X+X.X+2XZ+Z.Z+Z.Z
10X+Z=2(X.X+X.Z+Z.Z)
所以Z為0或2或4或6或8
分別代入解X即可,可得550為一解

當X+Z-Y=11時,同理
可得803亦為一解

當X+Z-Y=-11,此時不可能三數同時小於10

故答案有兩個 550和803

piny
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來自: 台北市






數學挑戰題之『未解的難題』