由 Raceleader 於 星期四 二月 27, 2003 10:12 am
有一個圓內接四邊形A,B,C,D,它們對角線AC, BD的交點為E,且AC垂直BD。設R為這個圓的半徑,求證:EA2+EB2+EC2+ED2=4R2。
F及G分別在AC及BD上,使OF及OG分別垂直AC及BD。
∠OGE=∠GEF=∠EFO=90° (已知)
∠FOG=(4-2)180°-∠OGE-∠GEF-∠EFO (多邊形內角和)
∴∠FOG=90°
∴OGEF是一長方形
設OF=h,OG=k
EG=FO=h (長方形特性)
EF=GO=k (長方形特性)
AF=CF (穿過圓心且垂直弦的線平分弦)
∴EA+EF=CF
∵EC=EF+CF
∴EC-EA=2EF=2k
BF=DF (穿過圓心且垂直弦的線平分弦)
∴EB+EG=DG
∵ED=EG+DG
∴ED-EB=2EG=2h
OA2=OF2+FA2 (畢氏定理)
R2=h2+(EA+k)2
R2=h2+k2+2(EA)k+EA2 ---(1)
OB2=OG2+BG2 (畢氏定理)
R2=k2+(EB+h)2
R2=k2+h2+2(EB)h+EB2 ---(2)
OC2=OF2+FC2 (畢氏定理)
R2=h2+(EC-k)2
R2=h2+k2-2(EC)k+EC2 ---(3)
OD2=OG2+DG2 (畢氏定理)
R2=k2+(ED-h)2
R2=k2+h2-2(ED)h+ED2 ---(4)
(1)+(2)+(3)+(4):
4R2=4(h2+k2)-2k(EC-EA)-2h(ED-EB)+EA2+EB2+EC2+ED2
4R2=4(h2+k2)-2k(2k)-2h(2h)+EA2+EB2+EC2+ED2
4R2=4(h2+k2)-4(h2+k2)+EA2+EB2+EC2+ED2
EA2+EB2+EC2+ED2=4R2