[討論]證明GHIJ是一矩形

[討論]證明GHIJ是一矩形

Raceleader 於 星期六 二月 15, 2003 2:40 pm


A,B分別是兩互不相交的圓的圓心,圓A上兩點E和F,及圓B上兩點C和D,使AC及AD為圓B的兩條切線,BE及BF為圓A的兩條切線。AC及AD分別交圓A於G和J,BE及BF分別交圓B於H和I。證明GHIJ是一矩形。
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Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 二月 26, 2003 7:31 pm


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連AB,使GJ及HI分別交AB於K及L。連AE,AF,BC及BD。AC及BE相交於M,AD及BF相交於N。

AG=AJ (半徑)
∴∠KGA=∠KJA (等腰三角形底角相等)
AC,AD為圓B的切線 (已知)
∴∠GAK=∠JAK (切線特性)
∴△GAK≡△JAK (ASA)
∴GK=JK (全等三角形的對應邊相等)
∴GJ⊥AB (穿過圓心及弦的中點的線垂直弦)

BH=BI (半徑)
∴∠LHB=∠LIB (等腰三角形底角相等)
BE,BF為圓A的切線 (已知)
∴∠HBL=∠IBL (切線特性)
∴△HBL≡△IBL (ASA)
∴HL=IL (全等三角形的對應邊相等)
∴HL⊥AB (穿過圓心及弦的中點的線垂直弦)

∠AEM=∠BCM=90° (切線垂直半徑)
∴A,B,C,E共圓 (弓形角相等的逆定理)
∴∠MAE=∠MBC (弓形角相等)
∠EMA=∠CMB (對頂角相等)
∴△MAE∼△MBC (AAA)
∴MA:MB=AE:BC (相似三角形的對應邊)
MG:MH=(MA-AG):(MB-BH)=(MA-AE):(MB-BC)=AE:BC
∴MG/GA=MH/HB
∴GH//AB (等比的逆定理)

∠AFN=∠BDN=90° (切線垂直半徑)
∴A,B,D,F共圓 (弓形角相等的逆定理)
∴∠NAF=∠NBD (弓形角相等)
∠FNA=∠DNB (對頂角相等)
∴△NAF∼△NBD (AAA)
∴NA:NB=AF:BD (相似三角形的對應邊)
NJ:NI=(NA-AJ):(NB-BI)=(NA-AF):(NB-BD)=AF:BD
∴NJ/JA=NI/IB
∴JI//AB (等比的逆定理)

∵GJ,HL⊥AB及GH,JI//AB (已證)
∴GJ//HL,GH//IJ及GJ,HL⊥GH,JI
∴GHIJ是矩形

Raceleader
訪客
 






平面&空間幾何