[數學]使△DEF的周長最短

[數學]使△DEF的周長最短

Corona 於 星期二 七月 13, 2004 10:49 pm


任意△ABC中,各邊任取一點D、E、F,使△DEF的周長最短。
請確定D、E、F的位置。

Corona
訪客
 

J+W 於 星期三 七月 14, 2004 10:52 am


這是初等數學100道難題的第90題

Fagnano's Altitude Base Point Problem  法格乃諾關於高的基點的問題

若 △ABC 為銳角三角形, 周長最小的內接三角形為△DEF, 則D、E、F的分別為三高的垂足。

參考第6題的證明:

http://www.math.ncu.edu.tw/resource/teach/chen/files91/test91h-html/node6.html

_____________
底下是直角和鈍角三角形的情形!
如圖,
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

∵∠A + ∠y + ∠z = ∠B + ∠z + ∠x = ∠C +∠ x + ∠y = 180 °
∴∠ x +∠y + ∠z =180 °

(2)若∠B=90°,∠x+∠y=90°∴ ∠z =90 °

∴△DEF一定是斜邊上的高!

(3)若∠B>90°,∠x+∠y<90°∴ ∠z >90 °∴ 2∠z >180 °

但2∠z ≦180 °,矛盾,∴內接△DEF不存在

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訪客 於 星期四 七月 15, 2004 4:49 pm


三高所成的四邊形BDEA為何共圓???

是否有更直接的証法
一直很不能接受這種繞路的作法...

訪客

 

J+W 於 星期五 七月 16, 2004 12:05 am


這個解法也行
不過缺圖

翀仔數學論壇

http://mathsforum.ma.cx/index.php?s=66abbee040bcf5ef49958cf2e030d233&showtopic=1120&st=0&#entry6510

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