[討論]求∠PCA
由 Raceleader 於 星期日 七月 06, 2003 11:09 pm
D在AB上，延伸DP到H，使H在BC上，且DH垂直於BC。延伸AP到E，使PB=PE。連CD，DP，DE，PH，BE，PE及CE。
∠BCA=80° (已知)
CA=CB (已知)
∴∠CAB=∠CBA (等腰三角形底角)
∠CAB+∠CBA=180°-∠BCA (三角形內角和)
2∠CAB=180°-80°=100°
∴∠CAB=∠CBA=50°
∵∠DHB=90° (已知)
∴∠BDH=180°-∠DHB-∠HBD (三角形內角和)
∴∠BDH=180°-90°-50°=40°
∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°
∴PB=PD (等角對邊相等)
∠BAP=20° (已知)
∠APD=∠BDP-∠DAP (三角形外角)
∴∠APD=40°-20°=20°
∴DP=DA (等角對邊相等)
∠BPE=∠ABP+∠BAP (三角形外角)
∴∠BPE=40°+20°=60°
PB=PE (已知)
∴∠PBE=∠PEB (等腰三角形底角)
∠PBE+∠PEB=180°-∠BPE (三角形內角和)
2∠PBE=180°-60°=120°
∴∠PBE=∠PEB=60°
∴△PBE是一等邊三角形
∴BP=PE=EB (等邊三角形性質)
∴BP=PE=EB=PD=DA
CA=CB (已知)
∠CAD=50° (已證)
∠CBE=∠PBE-∠PBC=60°-10°=50°
∴∠CAD=∠CBE=50°
BE=AD (已證)
∴△CAD≡△CBE (SAS)
∴∠ADC=∠BEC (全等三角形的對應角)
∴D，B，E，C共圓 (外角等於內對角)
∵PD=PE (已證)
∴∠PDE=∠PED (等腰三角形底角)
∵∠PDE+∠PED=∠APD (三角形外角)
∴2∠PDE=20°
∴∠PDE=∠PED=10°
∠DEC=∠DBC=50° (同弓形內的圓周角)
∴∠PEC=∠DEC-∠PED=50°-10°=40°
CD=CE (全等三角形的對應邊)
∴∠CDE=∠CED=50° (等腰三角形底角)
∴∠ECD=180°-∠CDE-∠CED (三角形內角和)
∴∠ECD=180°-50°-50°=80°
DP=EP (已證)
PC=PC (公共邊)
∴△CDP≡△CEP (SSS)
∴∠DCP=∠ECP (全等三角形的對應角)
∵∠DCP+∠ECP=∠ECD=80°
∴∠DCP=∠ECP=40°
∴PC=PE (等角對邊相等)
∴BP=PE=EB=PD=DA=PC
∴∠PCB=∠PBC=10° (等腰三角形底角)
∴∠PCA=∠BCA-∠PCB=80°-10°=70°
-
Raceleader - 訪客