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砝碼趣題（名題新解）

俺尊敬的愛摳二百五老師：

   昨天俺一不小心，把實驗室的一個80克的砝碼碰掉到地上，給摔成了4塊。俺心想啊這下可壞了呢。後來俺撿起這4塊碎片，稱了稱，您說巧不巧，它們居然都還是整數克的呢！嘿嘿。

   更巧的是，只要您拿來1到80克中任何整數克的東西，俺只用這4塊碎片，都能給您稱出來！真是老天有眼啊，這砝碼碎成4塊卻可以起更多的作用，您說您是不是可以不懲罰俺了呢？ 俺可不想再掃廁所了。千萬讓俺過了您的課，別讓俺掛了啊。

   這四塊碎片的重量是多少？老師啊，您就別開玩笑了，俺知道您一定會知道的呢！


                                                  學生：馬大哈  敬上

Ans:1,3,9,27克

天平屬於三進位，因為以x克的砝碼來說，可以選擇﹕左邊放a克、兩邊均不放a克、右放a克，等三種狀態。

另一稱解釋是﹕我們以最輕的砝碼為1克來討論﹕以下設-a(或說負a或說減a)表示左邊放入a克的砝碼，+b(或說正b或說加b)表示右邊放入b克砝碼。
如果將1,3,9,27四個砝碼任意地﹕或放左邊秤盤，或不放，或放右邊秤盤(3種狀態選擇)，則它最多必有3*3*3*3=3^4=81種不同質量組合(每個砝碼都有3種放法選擇，有4個砝碼，所以有3*3*3*3=81種)，
即﹕(-1,0,+1)×(-3,0,+3)×(-9,0,+9)×(-27,0,+27)，[×在此相當於直積或組合]
即它有0,+1,-1+3,+3,+1+3,-1-3+9,-3+9,+1-3+9,-1+9,9,...,...,+1+3+9+27種，即可以從0~~80克中任一整數克皆可量得。

ps:一般討論三進位，常用A: 0000,0001,0002,0010,0011,0012,0020,...,1000,...,...2220,2221,2222來討論，但本解釋不想做"平移"，因為，它們應是﹕B: pppp,pppo,pppd,ppop,ppoo,ppod,ppdp,ppdo,ppdd,popp,...,...,dddp,dddo,dddd，其中p,o,d分別表示﹕負1,0,正1
A是從0~80論之，B是從-40~+40論之，可視為它們互為平移觀念。

Ans:1,3,9,27克

更正﹕
天平屬於三進位，因為以a克的砝碼來說，可以選擇﹕左邊放a克、兩邊均不放a克、右放a克，等三種狀態。

另一稱解釋是﹕我們以最輕的砝碼為1克來討論﹕以下設-a(或說負a或說減a)表示左邊放入a克的砝碼，+b(或說正b或說加b)表示右邊放入b克砝碼。
如果將1,3,9,27四個砝碼任意地﹕或放左邊秤盤，或不放，或放右邊秤盤(3種狀態選擇)，則它最多必有3*3*3*3=3^4=81種不同質量組合(每個砝碼都有3種放法選擇，有4個砝碼，所以最多有3*3*3*3=81種)，
即﹕(-1,0,+1)×(-3,0,+3)×(-9,0,+9)×(-27,0,+27)，每個( )內的任一數均可跟其他所有( )作組合。
即它有0,+1,-1+3,+3,+1+3,-1-3+9,-3+9,+1-3+9,-1+9,9,...,...,+1+3+9+27種，即可以從0~~80克中任一整數克皆可量得。

ps:一般記載三進位數值，常是由0開始，即﹕ 0000,0001,0002,0010,0011,0012,0020,...,1000,...,...2220,2221,2222，來數數字的(ㄕㄨvㄕㄨ\字的)，即從0~80(十進位的80)

但本篇不想用"平移"來解釋本題，因為，它們應該是﹕ pppp,pppo,pppd,ppop,ppoo,ppod,ppdp,ppdo,ppdd,popp,...,...,dddp,dddo,dddd，其中p,o,d分別表示﹕負1,0,正1
即從-40~+40(十進位的-40及+40)論之
這兩種方法其實可視為互相平移觀念。