[教學]一些課程以外的幾何定理 - 中文

[教學]一些課程以外的幾何定理 - 中文

Raceleader 於 星期二 七月 29, 2003 11:46 am


內角平分線比例定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一三角形,點D在BC上,使∠BAD=∠CAD,那麼AB/BD=AC/CD。 (內角平分線比例定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
點E在AB上,使AC//ED。連DE。

DE//CA (已知)
∴BD/DC=BE/EA (等比定理)
∠EAD=∠CAD (已知)
∴∠EDA=∠CAD (錯角,DE//CA)
∴∠EDA=∠EAD
∴ED=EA (等角對邊相等)
∴BD/DC=BE/ED

∠DBE=∠CBA (公共角)
∠BED=∠BAC (同位角,DE//CA)
∠EDB=∠ACB (同位角,DE//CA)
∴△ABC∼△EBD (AAA)
∴BE/ED=BA/AC (相似三角形的對應邊)
∴BD/DC=BA/AC
∴AB/BD=AC/CD

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 七月 29, 2003 4:37 pm


內角平分線比例定理的逆定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一三角形,點D在BC上,使AB/BD=AC/CD,那麼∠BAD=∠CAD。 (內角平分線比例定理的逆定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
點E在AB上,使AC//ED。連DE。

DE//CA (已知)
∴BD/DC=BE/EA (等比定理)
AB/BD=AC/CD (已知)
∴BD/DC=AB/AC
∴AB/AC=BE/EA

∠DBE=∠CBA (公共角)
∠BED=∠BAC (同位角,DE//CA)
∠EDB=∠ACB (同位角,DE//CA)
∴△ABC∼△EBD (AAA)
∴BE/ED=BA/AC (相似三角形的對應邊)
∵AB/AC=BE/EA (已證)
∴EA=ED
∴∠EAD=∠EDA (等腰三角形底角)
∵∠EDA=∠DAC (錯角,DE//CA)
∴∠BAD=∠CAD

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 七月 29, 2003 5:25 pm


外角平分線比例定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一三角形,分別延伸BC及BA到D及E,使∠EAD=∠CAD,那麼AB/BD=AC/CD。 (外角平分線比例定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
點F在AB上,使FC//AD。連CF。

FC//AD (已知)
∴BF/FA=BC/CD (等比定理)
∠EAD=∠CAD (已知)
∴∠ACF=∠CAD (錯角,FC//AD)
∴∠AFC=∠EAD (同位角,FC//AD)
∴AC=AF (等角對邊相等)
∴BF/CA=BC/CD
∴BF/BC=AC/CD

∠FBC=∠ABD (公共角)
∠BCF=∠BDA (同位角,FC//AD)
∠CFB=∠DAB (同位角,FC//AD)
∴△BCF∼△BDA (AAA)
∴BF/BC=BA/BD (相似三角形的對應邊)
∴AB/BD=AC/CD

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 七月 29, 2003 6:57 pm


外角平分線比例定理的逆定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一三角形,分別延伸BC及BA到D及E,使AB/BD=AC/CD,那麼∠EAD=∠CAD。 (外角平分線比例定理的逆定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
點F在AB上,使FC//AD。連CF。

FC//AD (已知)
∴BC/CD=BF/FA (等比定理)
∴FB/BC=AF/CD
∠FBC=∠ABD (公共角)
∠BCF=∠BDA (同位角,FC//AD)
∠CFB=∠DAB (同位角,FC//AD)
∴△FBC∼△ABD (AAA)
∴FB/BC=AB/BD (相似三角形的對應邊)
∴AB/BD=AF/CD
∵AB/BD=AC/CD (已知)
∴AF=AC
∴∠AFC=∠ACF (等腰三角形底角)
∵∠EAD=∠AFC (同位角,FC//AD)
∵∠CAD=∠ACF (錯角,FC//AD)
∴∠EAD=∠CAD

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 七月 29, 2003 7:02 pm


托多密定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
若ABCD是四內接四邊形,那麼(AB)(CD)+(BC)(AD)=(AC)(BD)。 (托多密定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
M在BD上,使∠DCM=∠ACB

∠DCM=∠ACB (已知)
∠MDC=∠BAC (同弓形內的圓周角)
∠CMD=180°-∠DCM-∠MDC (三角形內角和)
∠CBA=180°-∠ACB-∠BAC (三角形內角和)
∴∠CMD=∠CBA
∴△CMD∼△CBA (AAA)
∴DC/DM=AC/AB (相似三角形的對應邊)
∴(DC)(AB)=(DM)(AC) ---(1)

∠DAC=∠MBC (同弓形內的圓周角)
∠ACD=∠DCM+∠MCE
∠BCM=∠ACB+∠MCE
∴∠ACD=∠BCM
∠CDA=180°-∠DAC-∠ACD (三角形內角和)
∠CMB=180°-∠MBC-∠BCM (三角形內角和)
∴∠CDA=∠CMB
∴△CDA∼△CMB (AAA)
∴MB/BC=DA/AC (相似三角形的對應邊)
∴(MB)(AC)=(BC)(DA) ---(2)

(1)+(2):
(AC)(DM+MB)=(AB)(CD)+(BC)(DA)
∴(AB)(CD)+(BC)(AD)=(AC)(BD)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期三 七月 30, 2003 7:33 pm


托多密定理的逆定理
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABCD是一四邊形,若(AB)(CD)+(BC)(AD)=(AC)(BD),那麼A,B,C,D共圓。 (托多密定理的逆定理)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
M在ABCD內,使∠DCM=∠ACB,∠MDC=∠BAC

∠DCM=∠ACB (已知)
∠MDC=∠BAC (已知)
∠CMD=180°-∠DCM-∠MDC (三角形內角和)
∠CBA=180°-∠ACB-∠BAC (三角形內角和)
∴∠CMD=∠CBA
∴△CMD∼△CBA (AAA)
∴DC/DM=AC/AB (相似三角形的對應邊)
∴(DC)(AB)=(DM)(AC) ---(1)

CM/CB=CD/CA (相似三角形的對應邊)
∠BCM=∠BCE+∠ECM
∠ACD=∠ACM+∠MCD
∴∠BCM=∠ACD
∴△BCM∼△ACD (兩邊成比例且夾角相等)
∴AC/AD=BC/BM (相似三角形的對應邊)
∴(AD)(BC)=(BM)(AC) ---(2)

(1)+(2):
(AB)(CD)+(BC)(AD)=(AC)(DM+MB)
∵(AB)(CD)+(BC)(AD)=(AC)(BD) (已知)
∴(AC)(DM+MB)=(AC)(BD)
∴DM+MB=BD
∴BMD是一直線
∵∠MDC=∠BAC (已知)
∴∠BDC=∠BAC
∴A,B,C,D共圓 (同弓形內的圓周角的逆定理)

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期四 七月 31, 2003 12:51 am


海倫公式
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
三角形ABC中,bc=a,CA=b,AB=c。若s=(1/2)(a+b+c),那麼△ABC面積=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。 (海倫公式)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
H在BC上,使AH垂直BC。設AH=h。

AH⊥BC (已知)
∴AB2-AH2=HB2 (畢氏定理)
∴c2-h2=HB2
∴HB=√(c2-h2)

∴AC2-AH2=HC2 (畢氏定理)
∴b2-h2=HC2
∴HC=√(b2-h2)

∵BC=BH+HC
∴a=√(c2-h2)+√(b2-h2)
h=±(1/2a)√[2a2(b2+c2)-(b2-c2)2-a4]
∵h>0
∴h=(1/2a)√[2a2(b2+c2)-(b2-c2)2-a4]

△ABC面積
=(1/2)(BC)(AH)
=(1/2)ah
=(1/4)√[2a2(b2+c2)-(b2-c2)2-a4]
=(1/4)√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]
=√(1/16)[(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)]
=√{[(1/2)(a+b+c)][(1/2)(a+b+c-2a)][(1/2)(a+b+c-2b)][(1/2)(a+b+c-2c)]}
=√{[(1/2)(a+b+c)][(1/2)(a+b+c)-a][(1/2)(a+b+c)-b][(1/2)(a+b+c)-c]}
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期四 七月 31, 2003 1:46 pm


共高三角形
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
定義:有一公共高的兩個或以上的三角形

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期四 七月 31, 2003 2:09 pm


共高三角形性質
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
ABC是一三角形,D及E是BC上的兩點,那麼△ABD面積:△ADE面積:△AEC面積=BD:DE:EC。 (共高三角形性質)

證明
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
H在BC上,使AH垂直BC

△ABD面積=(1/2)(BD)(AH)
△ADE面積=(1/2)(DE)(AH)
△AEC面積=(1/2)(EC)(AH)

∴△ABD面積:△ADE面積:△AEC面積=(1/2)(BD)(AH) : (1/2)(DE)(AH) : (1/2)(EC)(AH)
∵(1/2)(BD)(AH) : (1/2)(DE)(AH) : (1/2)(EC)(AH)=BD:DE:EC
∴△ABD面積:△ADE面積:△AEC面積=BD:DE:EC

Raceleader
訪客
 






平面&空間幾何