YLL討論網

△ABC是一等腰三角形，AB=AC，∠CAB=106°。P為△ABC內一點，使∠ABP=7°，∠PAB=23°，求∠APC。

最少3個方法,我只打一個

1 method by me, two methods by yptsoi

which 1 is the shortest in passage

Q在△ABC內，使AP=AQ，PB=QC。連QA，QC及QP。

∠APB=180°-∠ABP-∠PAB (三角形內角和)
∴∠APB=180°-7°-23°=150°
AP=AQ (已知)
PB=QC (已知)
BA=CA (已知)
∴△APB≡△AQC (SSS)
∴∠QAC=∠PAB=23° (全等三角形的對應角)
∴∠CQA=∠BPA=150° (全等三角形的對應角)
∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ
∴∠PAQ=106°-23°-23°=60°
∠APQ=∠AQP (等腰三角形底角)
∠APQ+∠AQP=180°-∠PAQ (三角形內角和)
2∠APQ=180°-60°=120°
∴∠APQ=∠AQP=60°
∴△APQ是一等邊三角形
∴AP=PQ=QA (等邊三角形性質)

AQ=PQ (已證)
∠PQC=360°-∠AQP-∠AQC (同頂角)
∴∠PQC=360°-60°-150°=150°
∴∠AQC=∠PQC=150°
QC=QC (公共邊)
∴△AQC≡△PQC (SAS)
∴CA=CP (全等三角形的對應邊)
∴∠QCA=∠QCP=7° (全等三角形的對應角)
∴∠ACP=∠QCA+∠QCP
∴∠ACP=7°+7°=14°
∠APC=∠PAC (等腰三角形底角)
∠APC+∠PAC=180°-∠ACP (三角形內角和)
2∠APC=180°-14°=166°
∴∠APC=∠PAC=83°