[討論]拿破崙三角形

[討論]拿破崙三角形

Raceleader 於 星期五 二月 14, 2003 11:11 pm


△ABC是一任意三角形,D、E和F在△ABC外,使△ABD、△BCE和△CAF是等邊三角形。G、H和I分別是△ABD、△BCE和△CAF的中心,而△GHI則被稱為拿破崙三角形。

證明拿破崙三角形GHI是等邊三角形。
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期五 五月 16, 2003 1:29 pm


(a)任給一個三角形 ABC, 由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF, 試證明三角形 DEF 為正三角形.


設A為原點, ABC在複數平面上
令A=0, B=b, C=a. (a,b為複數)
令w=cos(pi/6)+isin(pi/6); w^3=i; w^6=-1
let m=sqrt(3); w=m/2+i/2; ww=1/2+im/2; 1/w=m/2-i/2

D=b/m/w
E=b+(a-b)/m/w
F=a*w/m
let x=a/b
[(E-D)/(F-D)]*ww
=(ww+(x-2)w/m)/(xw/m-1/m/w)
=(ww-2w/m+xw/m)/(xw/m-1/m/w)
=(1/2+im/2- 1-i/m +xw/m)/(xw/m-1/2+i/2/m)
=1

故DEF 為正三角形
這是由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別向外作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF; DEF 為正三角形

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訪客
 

Raceleader 於 星期五 五月 16, 2003 1:30 pm


如果不用其他方法呢?

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期五 五月 16, 2003 1:32 pm


總是轉60度 or 120度

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訪客
 

Raceleader 於 星期五 五月 16, 2003 1:34 pm


You can rotate the figure and get the plane geo method

But not to refuse using Plane Geo, please cooperate the norm

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期五 五月 16, 2003 4:21 pm



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訪客
 

scsnake 於 星期五 五月 16, 2003 4:55 pm


原題等價於此題:

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

ABC為任意三角形,由三邊向外作30-30-120三角形,120度的角不在原三角形邊上,現證DEF為正三角形

將ECD繞D轉-120度得GBD,EAF繞F轉+120度得G'BF,易知G'=G
→DE=DG,EF=FG,又FB公共邊
→DFE全等於DFG
→EDF=FDG,但EDG=120度(剛才的旋轉角度),故EDF=FDG=60度
→同理EFD=GFD=60度
→DEF為正三角形


其實這題有更廣義的結果(書上寫的),改天再打上來∼

scsnake
訪客
 

Raceleader 於 星期五 五月 16, 2003 9:40 pm


You can search im web

Raceleader
訪客
 

scsnake 於 星期三 六月 04, 2003 5:44 pm


我純粹用平面幾何不是嗎?

scsnake
訪客
 

paulman 於 星期四 七月 10, 2003 2:02 pm


我發現GHI之重心與ABC之重心重合  又是為何

paulman
訪客
 




平面&空間幾何