[試卷]2003年<<國中組複賽>>試卷

[試卷]2003年<<國中組複賽>>試卷

yll 於 星期日 四月 27, 2003 5:48 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<國中組>>複賽試卷 ㄏㄏㄏ

1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的135分鐘作答

4.請在135分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定看過試卷示例
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=2022

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時135分開始
看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4370
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來自: 我將來要去的地方~

yll 於 星期日 四月 27, 2003 5:53 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽國中組複賽試卷

                 暱稱:___________ 編號:____________

                           時間限制:135分鐘

   一、填充題,共40分,一格5分

   非常恭喜你晉級到複賽,但可不要因而鬆懈喔!再來請試解下列題目:

  【問題1】X、Y是相異正整數且XY+X+Y=99,求數對(X,Y)共有幾組?

  【問題2】x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,求p、q的關係式為?

  【問題3】X+Y+2Z=-2
           X+2Y+3Z=a
           X+3Y+4Z=b
           X+4Y+5Z=b2

此方程式有解,其中a、b皆為非整數之常數,則數對(a,b)是多少?

  【問題4】已知三角形的三邊長均為整數,其中之一是4,但它不是最短邊。
            這樣的三角形的個數有幾個?

  【問題5】因式分解x5+x4+1

  【問題6】y=-999x2+2001x+123456789此二次函數要使y有

最大值但限制x必須是正整數,求x=?

  【問題7】若x=24,則3x4+42x3+204x2+390x+225=A


則A的平方根為?

  【問題8】下圖已知L//M ,AC=EF=8,BC=6,DE=1,且△BEF的面積為40,求四
邊形ADEB的面積

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


二、計算題,一題30分,共60分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部分
    分數)

  【第一題】設函數F滿足F(1)=249,且F(n+1)=21+4F(n),n=1,2,3,…,試求F(2003)
           之值的末兩位數。

  【第二題】現有一個矩形,把長分成a等份,把寬分成b等份之後,你會發
            現此矩形已被分割成ab塊小矩形。則請你數數現在這個圖形共有
            多少個矩形(用a和b表示,答案需包括原來的大矩形)

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
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---- 於 星期日 四月 27, 2003 7:41 pm


1. xy+x+y=99
(x+1)(y+1)=100
100=2^2 * 5^2
故有(2+1)(2+1)=9個因數
排除1 和100 兩個共有7個
即x+1 有7個可能性,故里(x,y)有7組解答

2.設一根為a, 另一根為2a,則有
p=-3a
q=2a^2
即9q=2p^2

3.X+Y+2Z=-2 ...(1)
X+2Y+3Z=a ...(2)
X+3Y+4Z=b ...(3)
X+4Y+5Z=b^2...(4)

y+z=(2)-(1)=(3)-(2)=(4)-(3)
即a+2 = b-a = b^2-b
由a+2=b-a 得2a+2=b
把2a+2=b代入b-a=b^2-b
2a+2-a = 4a^2+8a+4-2a-2
4a^2+5a=0
a(4a+5)=0
因a非整數,故a=-5/4

代入b=2a+2,
b=-1/2
(a,b)=(-5/4, -1/2)

4.
設三角形三邊為a,b,4
若a<4a+4>b
則(a,b)=(2,5),(3,5),(3,6)三組解
若a<b<=4
a+b>4
則(a,b)=(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)六組解
共有9組解

5.
x^5+x^4+1
=x^5+x^4+x^3-x^3+1
=x^3(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)
=(x^3-x+1)(x^2+x+1)

6.由配方法可知
x得最小值時答案為-b/2a =-2001/-1998 = 667/666
最接近整數值為1,故x=1

7.3x^4+42x^3+204x^2+390x+225
=3(x^4+14x^3+68x^2+130x+75)
代入x=-1 上式為0,即x+1 為此式的因子,
由長除法得上式等於
=3(x+1)(x^3+13x^2+55x+75)
代入x=-3 上式為0,即x+3為此式因子,
由長除法得上式等於
=3(x+1)(x+3)(x^2+10x+25)
=3(x+1)(x+3)(x+5)^2
代入x=24
=3(25)(27)(29)^2
=3^4 * 5^2 * 29^2
開方後得A=3^2*5*29=1305

8.設M是B點在M的垂足。
EF*BH/2 = 40
BH=8/7
明顯地,ABDE是個平行四邊形,故其面積為:
1*80/7 = 80/7

1.
F(n+1)=4F(n)+21
F(n+1)+7=4F(n)+28
F(n+1)+7=4(F(n)+7)
設g(n)=F(n)+7
g(n+1)=4g(n)
g(n)=4^(n-1) * g(1)
=4^(n-1) * (249+7)
=4^(n-1)*256
=4^(n-1)*4^4
=4^(n+3)
g(2003)=4^2006 = (4^3)^668 * 4^2 = (1024)^668 * 16
= 24^668 * 16 (mod 100)
= 576^334 * 16 (mod 100)
= 76*16 (mod 100)
= 16 (mod 100)
F(2003)+7=16(mod 100)
F(2003)=9(mod 100)
故f(2003)的末兩位數是09

2.若b=1時,1*a的長方形可作以下分析:
1*a的長方形的個數是1個
1*(a-1)的長方形的個數是2個
1*(a-2)的長方形的個數是3個
...
1*1的長方形的個數是a個,
故共有長方形(1+...+a)個
依同樣原理,當a=1時,1*b的長方形共有(1+...+b)個
即a*b的長方形共有矩形(1+...+a)(1+...+b)=ab(a+1)(b+1)/4個

----
訪客
 

kevin 於 星期日 四月 27, 2003 9:30 pm


填充
1.6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.15
計算
1.
F(n)=21+4*21+4*4*21+..............+4^(n-2)*21+4^(n-1)*249
F(2003)=21+4*21+4*4+21+.........+4^2001*21+4^2002*249
由於4+4*4+4*4*4+........+4^10的尾數2位=00
所以從4*21+4*4*21+......+4^2000*21的尾數也是00
所以不用考慮這部分
21+4^2001*21+4^2002*249
=201+4*21+16*249=4089
因此尾數為89
2.
長分成a份.寬分成b份
長任取若干份共有a(a+1)/2種
寬任取若干份共有b(b+1)/2種
長和寬都任取若干份便可以組成矩形
因此共有a(a+1)b(b+1)/4個矩形
----------------------------------------------
心得....我很來在9:20分左右打好了.花了20分鐘
結果不小心按到上一頁..害我從打一次..就很簡單的打了一下
希望你看的懂.文筆不很好...^^"
填充題很多看起來很複雜...就不想寫了..^^"
人之常情.......0.0

kevin
教 授
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ming 於 星期日 四月 27, 2003 10:48 pm


修改
1.9
2.q=2/9p^2
3.a=-5/4,b=-1/2
4.8
5.(x^3-x+1)(x^2+x+1)
6.x=1
7.1305
8.15

一89.f(1)尾數是49,f(2)尾數是17,跟著是89,77...57,f(11)又是49,重複著.因此f(2003)=f(3)=89(mod100)
二:一個一個矩形去數,有ab個,
兩個兩個去數,有a(b-1)+b(a-1)個,
三個三個去數,有a(b-2)+b(a-2)個,
四個四個去數,有a(b-3)+b(a-3)+(a-1)(b-1)
六個六個數有a(b-5)+b(a-5)+(a-1)(b-2)+(a-2)(b-1)
設n有n1,n2...nk,k個因數,n1*nk=n2*n(k-1)....
以n個n個數,有,(a-n1+1)(b-nk+1)+(a-nk+1)(b-n1+1)...
以ab個ab去數,有(a-a+1)(b-b+1)=1個
答案是這所有數字的和

ming
訪客
 

Herbie 於 星期一 四月 28, 2003 1:03 pm


go go go
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

我們台灣奧運加油!

Herbie

 
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E.T 於 星期一 四月 28, 2003 2:28 pm


重答 ><
【問題1】9
【問題2】2p^2 /9 = q
【問題3】( 1, 2)
【問題4】11
【問題5】( x^3 - x + 1 )( x^2 + x + 1)
【問題6】1
【問題7】1305
【問題8】15



二、【第一題】F(1) = 249 , F(2) = 1017 , F(3) = 4089 , F(4) = 16377
F(5) = 65529 , F(6) = 262137 , F(7) = 1048569 , F(8) =4194297
F(9) = 16777209 , F(10) = 67108857 , F(11) = ...49 , F(12) = ...17 , ....

So F(2003) = F(3) = 末兩位數 89 ( mod 100 )

【第二題】( a+b-1)(a-b+1)
Click this : [>> 有趣的科學(Science's World) <<]

Let's go to discuss ~*

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

E.T

 
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Raceleader 於 星期三 四月 30, 2003 10:00 pm


【問題1】6組

【問題2】2p2=9q

【問題3】a=-5/4,b=-1/2

【問題4】8

【問題5】(x3-x+1)(x2+x+1)

【問題6】x=1

【問題7】1305

【問題8】15

【第一題】
F(1)=249,F(n+1)=21+4F(n),n=1,2,3,...
如果末兩位數固定,未它數可任意,那麼末兩位數的4倍也是固定
設G(n)=F(n)之值的末兩位數
G(1)=49
G(2)=17
G(3)=89
G(4)=77
G(5)=29
G(6)=37
G(7)=69
G(8)=97
G(9)=09
G(10)=57
G(11)=49
...

所以:
G(10k+1)=49
G(10k+2)=17
G(10k+3)=89
G(10k+4)=77
G(10k+5)=29
G(10k+6)=37
G(10k+7)=69
G(10k+8)=97
G(10k+9)=09
G(10k+10)=57
k=0,1,2,...

G(2003)=G(10*200+3)=G(30)=89
F(2003)之值的末兩位數=89

【第二題】
假設am=bn,(m,n)沒有整數解

如果矩形分成長a等份,寬b等份
設F(h,k)為長h等份,寬k等份的小矩形的數目
那麼F(h,k)=(a-h+1)(b-k+1)

F(1,1)=ab
F(1,2)=a(b-1)
F(1,3)=a(b-2)
...
F(1,b)=a(b-b+1)=a
S(1)=F(1,1)+F(1,2)+F(1,3)+...+F(1,b)=a[1+2+3+...+b]=(1/2)ab(b+1)

F(2,1)=(a-1)b
F(2,2)=(a-1)(b-1)
F(2,3)=(a-1)(b-2)
...
F(2,b)=(a-1)(b-b+1)=a-1
S(2)=F(2,1)+F(2,2)+F(2,3)+...+F(2,b)=(a-1)[1+2+3+...+b]=(1/2)(a-1)b(b+1)

F(3,1)=(a-2)b
F(3,2)=(a-2)(b-1)
F(3,3)=(a-2)(b-2)
...
F(3,b)=(a-2)(b-b+1)=a-2
S(3)=F(3,1)+F(3,2)+F(3,3)+...+F(3,b)=(a-2)[1+2+3+...+b]=(1/2)(a-2)b(b+1)

...

F(a,1)=b
F(a,2)=(b-1)
F(a,3)=(b-2)
...
F(a,b)=(a-a+1)(b-b+1)=1
S(a)=F(a,1)+F(a,2)+F(a,3)+...+F(a,b)=[1+2+3+...+b]=(1/2)b(b+1)

總數=S(1)+S(2)+S(3)+...+S(a)=(1/2)b(b+1)[1+2+3+...+a]=(1/4)ab(a+1)(b+1)

Raceleader
訪客
 

琳~~ 於 星期五 五月 02, 2003 4:52 pm


暱稱:___琳~~________ 編號:____________

【問題1】
1, 50    
3, 24
4,19
9,9
19,4
24,3
50,1

共7組

【問題2】
Let 2 root be a and 2a

3a=-p
a= -p/3


2a 2 =q

a2 = q/2

a= (q/2)^1/2

-p/3= (q/2)^1/2



【問題3】

Y+Z=a+2
2Y+2Z=b +2
3Y+3Z=b2 +2

2(a+2)= b +2
2a+4= b +2
2a+2=b-------(1)

3(a+2)= b2 +2
3a+6= b2 +2
3a+8= b2 -------(2)

4a2+8a+4=3a+8
4a2  +5a-4+0

a= (-5  +/- ( 25-4*4*(-4)) !/2)  / 2*4
  = (-5 +/-(89) !/2  ) /8

b = 2((-5 +/-(89) !/2  ) /8)+2
   =(-5 +/-(89) !/2  ) /4+2


【問題4】
WHEN三邊長, 3,4,5



【問題5】
   x5+(x2+1)( x2-1)
= x5+(x2+1)( x+1)(x-1)

【問題6】


【問題7】1305

【問題8】


二、
【第一題】且F(n+1)=21+4F(n),n=1,2,3,…,試求F(2003)
249 = 21+4F(n),
F(n)=57

F(2003)=57*2003=114171

The anawer =71

【第二題】
大矩形+ ab+ ab/2個*a*2b(上下2個小矩形成一個矩形)+ ab/2個*2a*b(左右2個小矩形成一個矩形)+…

琳~~
訪客
 

索洛西 於 星期日 五月 04, 2003 4:56 pm


1.  只有1組
2.  令較小的一根為y,則p=2[y+(3/4)]2+(9/8)-q
3.  
4.  8個
5.
6.
7.  1512000根號5
8.  15
9.  F(2)末2位=21+4*49=>17
     F(3)末2位=21+4*17=>89
     F(3)末2位=21+4*89=>77
                   .
                   .
                   .
                   .
                   .
                  ??
10.
F顏一展只為君
夜月如妳醉我心
本當心冷無一物
命定為妳動真情

索洛西
版 主
版 主
 
文章: 2266
註冊時間: 2003-03-16
來自: 紅魔館時計台

Herbie 於 星期六 六月 07, 2003 7:56 pm


答案公佈在

http://netcity5.web.hinet.net/UserData/84536923/mathtest02.doc

感謝蜥蜴、杰、Carunty、風之痕、書呆、健祺的作答跟幫忙
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

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Herbie

 
文章: 841
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