1. 此六位迴文數能被95整除,即能被5和19整除。
設此數為abccba,則因其被5整除a=5(不是0因為0不可以在數的首位)
此數的值
=500005+10010b+1100c
=1+16b+17c(mod 19)
=0(mod 19)
16b+17c=-1(mod 19)
16b-2c=18(mod 19)
8b-c=9(mod 19)
c=8b-9(mod 19)
b=1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,8b-9的值分別是:
-1, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, -9
當b=1時無解,b=2時(b,c)=(2,7), b=3 時無解,b=4時(b,c)=(4,4)
b=5時無解,b=6時(b,c)=(6,1),b=7無解,b=8無解,b=9時(b,c)=(9,6), b=0時無解
當(b,c)=(2,7)時,527725/95=5555,是迴文數,故是一解。
當(b,c)=(4,4)時,544445/95=5731,不是迴文數,不是解。
當(b,c)=(6,1)時,561165/95=5907,不是迴文數,不是解。
當(b,c)=(9,6)時,596695/95=6287,不是迴文數,不是解。
故所求數為527725。
2. 「34」「46」「61」「79」「?」「?」「?」
卡片數字總和=400=1(mod 3)
又由於抽出的六張卡數字和皆相等,即排除沒有被抽掉的卡後,總和是3的倍數
34=1(mod 3)
46=1(mod 3)
61=1(mod 3)
79=1(mod 3)
3個?=0(mod 3)
即34,46,61,79此四個也有可能。
若34沒被抽掉
卡片數字總和=400-34=366
每組和為366/3=122=2(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故怎樣組合總有一組不是2(mod 3),故無解。
若46沒被抽掉
卡片數字總和=400-46=354
每組和為354/3=118=1(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故只要抽到=1(mod 3)和=0(mod 3)在一起的就可以了。故46是答案。
若61沒被抽掉
卡片數字總和=400-61=339
每組和為339/3=113=2(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故怎樣組合總有一組不是2(mod 3),故無解。
若79沒被抽掉
卡片數字總和=400-79=321
每組和為321/3=107=2(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故怎樣組合總有一組不是2(mod 3),故無解。
4.
設該數為1998a=2000a-2a
當a<50時,最後三位必有一位為9,故
a>=51,還有使十位退位小於9,2a的十位不可為0,故
a>=55,當a=55時,個位為0,十位不需要因為個位會退位而再減1,故得數十位會出現1。
a=56時1998x56=111888,則所求數為56。
5.
設這些數為
3 4 e
8 6 d
a b c
3*8*a=4*6*b
b=a
3*8*a=3*4*e
e=2a
8*6*d=3*8*a
2d=a
d=(a/2)
a*b*c=3*8*a
a^2*c=24a
ac=24
c=24/a
因d=(a/2),d是整數,故a是偶數,又因
c=24/a,c是整數,故a是24的因子。
24的偶數因子有:2,4,6,8,12,24
當a=2時答案為
- 代碼:
3 4 4
8 6 1
2 2 12
當a=4時答案為
- 代碼:
3 4 8
8 6 2
4 4 6
當a=6時答案為
- 代碼:
3 4 12
8 6 3
6 6 4
當a=8時答案為
- 代碼:
3 4 16
8 6 4
8 8 3
當a=12時答案為
- 代碼:
3 4 24
8 6 6
12 12 2
當a=24時答案為
- 代碼:
3 4 48
8 6 12
24 24 1
3. 6個。
在平面上加入最多可穿過4個(比對角線偏移一些),加入空間因素,得6個