簡單打一下
ABCD是一圓內接四邊形,E、F、G和H分別是△DAB、△ABC、△BCD和△CDA的內心。證明EFGH是一矩形。
連AE、AF、BE、BF。
∠EAF=∠EAB-∠FAB=(1/2)(∠BAD-∠BAC) (內心特性)
∠EBF=∠FBA-∠EBA=(1/2)(∠CBA-∠DBA) (內心特性)
ABCD是一圓內接四邊形
∴∠ADB=∠ACB (同弓形內的圓周角)
∴∠ABC+∠CAB=180°-∠BCA (三角形內角和)
∴∠ABC+∠CAB=180°-∠ADB
∵180°-∠ADB=∠BAD+∠ABD (三角形內角和)
∴∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠ABD
∴∠BAD-∠BAC=∠CBA-∠DBA
∴∠EAF=∠EBF
∴A、B、F和E共圓 (同弓形內的圓周角的逆定理)
∴∠EFB=180°-∠BAE (對角互補)
∴∠EFB=180°-(1/2)∠BAD
同理,∠GFB=180°-(1/2)∠DCB
∠BAD+∠DCB=180° (對角互補)
∠EFB+∠GFB=180°-(1/2)∠BAD+180°-(1/2)∠DCB=360°-(1/2)(∠BAD+∠DCB)=360°-(1/2)(180°)=270°
∴∠EFG=360°-(∠EFB+∠GFB)=360°-270°=90° (同頂角)
同理可證,∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°
∴EFGH是一矩形