由 Raceleader 於 星期六 五月 17, 2003 6:37 pm
【問題1】
一個凸n邊形,內角和=180°(n-2)
數個凸多邊形(設總邊數=a):
因為切割成的多角形之邊數合計比原來的多角形邊數還多了13條
因此a=n+13
而內角的合計=180°(1.3)(n-2)
新的數個多邊形,總邊數也必為整數
因此(1.3)(n-2)必為整數,所以n-2必為10的倍數
即是n=12,22,32,42,...
所以(n,a)=(12,15),(22,28),(32,41),...
a-n顯然是3的倍數,因此無解
Notice:
如果多了12條,那麼n=42,a=54
可以在凸42邊形,在頂點再分割6條不相交的線,分了7個凸多邊形
【問題2】
如果要連續5個數為9,那麼五位數只有99999
但是99999=50*1997+149,因此不符
六位數,符合的有:
199999=100*1997+299
299999=150*1997+449
399999=200*1997+599
499999=250*1997+749
599999=300*1997+899
699999=350*1997+1049
799999=400*1997+1199
899999=450*1997+1349
999999=500*1997+1499
999990=500*1997+1490
999991=500*1997+1491
999992=500*1997+1492
999993=500*1997+1493
999994=500*1997+1494
999995=500*1997+1495
999996=500*1997+1496
999997=500*1997+1497
999998=500*1997+1498
因此六位數不符
七位數有三種表達形式
ab99999, c99999d, 99999ef
ab99999:
99999=50*1997+149
因此ab00000除1997的餘數=1997-149=1848,才使ab99999整除1997
分別使1000000,1100000,1200000,...,9900000除以1997,所得餘數分別為
1500, 1650, 1800, 1950, 103, 253, 403, 553, 703, 853, 1003, 1153, 1303, 1453, 1603, 1753, 1903, 56, 206, 356, 506, 656, 806,
956, 1106, 1256, 1406, 1556, 1706, 1856, 9, 159, 309, 459, 609, 759, 909, 1059, 1209, 1359, 1509, 1659, 1809, 1959, 112, 262,
412, 562, 712, 862, 1012, 1162, 1312, 1462, 1612, 1762, 1912, 65, 215, 365, 515, 665, 815, 965, 1115, 1265, 1415, 1565, 1715,
1865, 18, 168, 318, 468, 618, 768, 918, 1068, 1218, 1368, 1518, 1668, 1818, 1968, 121, 271, 421, 571, 721, 871
沒有一個餘數=1848,所以任何的ab99999,沒有一個能整除1997
99999ef:
9999900=5007*1997+921
9999999=5007*1997+1020
沒有一個餘數=1997,所以任何的99999ef,沒有一個能整除1997
c99999d:
1999990=1001*1997+993
1999999=1001*1997+1002
2999990=1502*1997+496
2999999=1502*1997+505
3999990=2002*1997+1996
3999999=2003*1997+8
因此其中必有一個數能整除1997
發現2003*1997=3999991,符合題要
因此最小的數=2003,積=3999991
【問題3】
1個法碼顯然只能量度1個重量:a
2個法碼顯然只能量度4個重量:a, b, (a+b), (a-b)
既然是天平,理應可以同時兩邊放,可作加減達到最少法碼
可以考慮進制幫助,利用最少法碼表達所有數字
如果用2進制,則要用4個法碼 (1,2,4,8公斤),但可以只放一邊
如果用3進制,則只用3個法碼 (1,3,9公斤),但要放兩邊
1=1
2=3-1
3=3
4=1+3
5=9-(3+1)
6=9-3
7=9+1-3
8=9-1
9=9
10=9+1
11=9+3-1
12=9+3
13=9+3+1
所以1公斤、3公斤、9公斤便是所需,只要3個砝碼
【問題4】
3和37是質數
因為37*3=111,由此入手
37*3=111
37*6=222
37*9=333
37*12=444
37*15=555
37*18=666
37*21=777
37*24=888=74*12
37*27=999
我們發現37+18=55
所以兩個兩位數=(37,18)