[問題]1

[問題]1

ming 於 星期一 五月 05, 2003 5:27 pm


Let x0=5,xn+1=xn+1/xn for n=1,2,3...find the integer closest to x1998

ming
訪客
 

Raceleader 於 星期一 五月 05, 2003 6:15 pm


This is IMO HK Prelim 1998/99

Raceleader
訪客
 

scsnake 於 星期一 五月 05, 2003 6:22 pm


數學狂:「難怪那麼難∼」
Mathematica:「不會啊,0.08秒就算出x1998=63.431464035857736」
數學狂:「@@」

scsnake
訪客
 

Raceleader 於 星期一 五月 05, 2003 6:23 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期二 五月 06, 2003 5:54 pm


from the view of differential equation:

Dy=1/y
Dy=y'+y"/2+...

1st-order  estimation:
1/y ~ dy/dx
ydy ~ dx
x+c~ yy/2
y~ sqrt(2x+c)

y0=5~sqrt(c)
c~25

y~sqrt(2x+25)
y1998~ sqrt(2*1998+25)~63.41135545

==>
round(y1998)=63

---
訪客
 

--- 於 星期二 五月 06, 2003 6:07 pm


2nd-order estimation:

1/y=y'+y"/2
dx=ydy+ ydy'/2

x+c=yy/2+$ ydy'/2

y~ sqrt(2x+2c)
y'~ 1/sqrt(2x+2c)=1/y
so, $ ydy'/2~lny/2'~ -ln(2x+2c)/4
x+c~yy/2-ln(2x+2c)/4
y~sqrt(2x+2c+ln(2x+2c)/2)

y1=5.2~sqrt(2+2c+ln(2+2c)/2)
c=11.71109441
y ~ sqrt(2x+23.42218882+ln(2x+23.42218882)/2)

y1998~ 63.43162961

---
訪客
 

--- 於 星期二 五月 06, 2003 6:09 pm


Generally speaking, the exact value will be between the 1st- and the 2nd-estimation.

---
訪客
 

scsnake 於 星期二 五月 06, 2003 6:26 pm


Meowth,你在「估計數值」這方面很厲害耶∼
不過,還是看不太懂你的算式,像是第一行的y,Dy是什麼?

scsnake
訪客
 

--- 於 星期二 五月 06, 2003 6:27 pm


Dy=y(x+1)-y(x)

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訪客
 

--- 於 星期二 五月 06, 2003 6:31 pm


Q: T(1)=5 並 T(n+1)=T(n)+1/T(n) for n>1. 請找出最接近T(1998)的整數

T(n+1)-T(n)=1/T(n)


T(n+1)-T(n)=1/T(n)

泰勒展開 T(n+1)=T(n)+T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....
***差分轉微分!***
(1) 一階近似:
取T(n+1)~T(n)+T'(n)


T(n+1)-T(n)=1/T(n) ~ T'(n)

dT/dn ~ 1/T

(2) 2 階近似:
取T(n+1)~T(n)+T'(n)+T"(n)/2

T(n+1)-T(n)=1/T(n) ~ T'(n)+T(n)"/2

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訪客
 

scsnake 於 星期二 五月 06, 2003 6:31 pm


那第二行Dy=y'+y"/2+... 是?

scsnake
訪客
 

--- 於 星期二 五月 06, 2003 6:34 pm


泰勒展開 T(n+1)=T(n)+T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....
DT= T(n+1)- T(n) =T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....

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訪客
 




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