暱稱:Raceleader
【問題1】
咦,這不是我日前想破的題目?
這是第二個方法,理應接受此解
小心,今次我沒有標點E在對角線的交點,反而是自行作出的。
點E在四邊形ABCD外,使AE=AD,BE=BD。連AE,BE及CE。
AB=AB (公共邊)
BE=BD (已知)
EA=DA (已知)
∴△ABE≡△ABD (SSS)
∴∠ABE=∠ABD=12° (全等三角形的對應角)
∴∠BEA=∠BDA (全等三角形的對應角)
∠EBC=∠EBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°
BE=BD (已知)
∠BCD=∠BCA+∠ACD=48°+24°=72°
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD (三角形內角和)
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°
∴∠BDC=∠BCD=72°
∴BC=BD (等角對邊相等)
∴BC=BE
∴∠BCE=∠BEC (等腰三角形底角)
∠BCE+∠BEC=180°-∠EBC (三角形內角和)
2∠BEC=180°-60°=120°
∴∠BCE=∠CEB=∠EBC=60°
∴△BCE是一等邊三角形
∴BC=CE=EB (等邊三角形性質)
∠ABC=∠ABD+∠DBC=12°+36°=48°
∴∠ABC=∠ACB=48°
∴AB=AC (等角對邊相等)
BE=CE (等邊三角形性質)
EA=EA (公共邊)
∴△ABE≡△ACE (SSS)
∴∠BEA=∠CEA (全等三角形的對應角)
∠BEA+∠CEA=∠CEB=60°
2∠BEA=60°
∠BEA=30°
∵△ABE≡△ABD (已證)
∴∠ADB=∠AEB=30°
【問題2】
猜的...14
【問題3】
利用餘弦定理去解邊長
六邊形面積 = 120cm
2
【問題4】
排位置時都不讓丈夫與別國的妻子為鄰,或是讓自己的妻子坐在其他國家的男性身旁。
由此可得出兩種主要坐法方案。
第一種方案是把丈夫及妻子分開兩邊坐,相鄰的是夫妻。
第二種方案是夫妻妻夫夫妻妻夫坐。
第一種方案:
先考慮丈夫坐法,因為有4個位,分別坐上4人,因此排列=4!=24種
在每種排列中,與丈夫相鄰的妻子位置已被確定,故只剩下考慮中間兩名妻子的坐法
因為中間兩名妻子位置可互換,所以在每種固定的丈夫排列中,便有兩種不同的妻子排列
因此總組合=2*4!=48種
第二種方案:
如果丈夫位置已被確定,那麼妻子的位置也一一對應。因此只需考慮丈夫位置排列。
考慮丈夫坐法,因為有4個位,分別坐上4人,因此排列=4!=24種
但是,在那24種坐法中,任選一種,必存在一種方法跟原來的成旋轉對稱
例如ABCD - CDAB是旋轉對稱
因此有一半組合重複
所以總組合=4!/2=12種
總和=48+12=60種
【問題5】
既無法區別長針和短針,不如設長短針長度一樣。
大部分時候長短針的位置配合只有唯一的時間可解,但有時是有兩個可能解,便是長短針位置互換,而又能表達正確時間。
因此,此題要我們考慮從正午到凌晨0點的12小時之內,有多少時間組是長短針位置互換。
在一個12小時制內,時間表達成x小時y分,0≦x≦11,0≦y<60,x是正整數,y是正實數。
時針形成的角=30°x+(y/60)30°=(1/2)(60x+y)°
分針形成的角=(y/60)360°=6y°
如果又有一個時間,m小時n分,使此兩個時間長短針位置互換。0≦m≦11,0≦n<60,m是正整數,n是正實數。
時針形成的角=30°m+(n/60)30°=(1/2)(60m+n)°
分針形成的角=(n/60)360°=6n°
因為長短針位置互換,因此:
x小時y分,時針形成的角 = m小時n分,分針形成的角
m小時n分,時針形成的角 = x小時y分,分針形成的角
(1/2)(60x+y)°=6n° ---(1)
(1/2)(60m+n)°=6y° ---(2)
(1)+(2):
(1/2)(60x+y+60m+n)°=6(n+y)°
60(x+m)=11(n+y)
n+y=(60/11)(x+m)
因為0≦x,m≦11,所以0≦x+m≦22
設k=x+m,則
n+y=60k/11
6n=(360k/11)-6y ---(3)
代(3)入(1):
(1/2)(60x+y)=(360k/11)-6y
60x+y=(720k/11)-12y
13y=(720k/11)-60x
y=(1/13)[(720k/11)-60x]
y=(1/143)(720k-660x)
因為0≦y<60,所以
0≦(1/143)(720k-660x)<60
0≦(1/143)(720k-660x)
0≦12k-11x
11x/12≦k
(1/143)(720k-660x)<60
(1/143)(12k-11x)<1
12k-11x<143
k<(143/12)+(11x/12)
所以11x/12≦k<(143/12)+(11x/12) ---(*)
因為k=x+m,0≦x+m≦22
利用(*):
x=0,0≦k<143/12,k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
x=1,11/12≦k<77/6,k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
x=2,11/6≦k<55/4,k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
x=3,11/4≦k<44/3,k=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
x=4,11/3≦k<187/12,k=4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
x=5,55/12≦k<33/2,k=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
x=6,11/2≦k<209/12,k=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
x=7,77/12≦k<55/3,k=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
x=8,22/3≦k<77/4,k=8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
x=9,33/4≦k<121/6,k=9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
x=10,55/6≦k<253/12,k=10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21
x=11,121/12≦k<22,k=11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21
除了x=11,當x是其他正整數時,都有12個相對的k值,即是有12個相對的m值,即是有12個互換的時間
即是共有11*12+11=143個時間適合
可是,其中有些時間是重複了,如果重複,即是時針分針重疊,也變成了唯一解,可被人計算出來
當(x,k)=(0,0),(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12),(7,14),(8,16),(9,18)及(10,20)
因為k=x+m,所以
(x,m)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(10,10)
在同一小時內,是不可能長短針互換的,因此上述10個時間均被取消
因此長短針位置互換而不被察覺實際共有143-11=132個時間
【問題6】
設A,B,C,D,E分別為a,b,c,d,e中,5個袋子裡面的彈珠數目。
因此,A,B,C,D,E皆為正整數。
因為26顆玻璃彈珠分裝在a,b,c,d,e等5個袋子裡面,每個袋子裡面的彈珠數量都不同,而且都在1個以上。
所以1<A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等
因為只要袋子內的彈珠超過11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。
所以:
A+E≧12 ---(1)
B+C≧12 ---(2)
C+D≧12 ---(3)
A+C≦11 ---(4)
(1)+(2):
A+B+C+E≧12+12=24 → A+B+C+E=24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1或2
但是每個袋子數量都在1個以上,因此D>1,所以D=2
(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1或2
但是每個袋子數量都在1個以上,因此B>1,所以B=2
因此B=D=2,但是跟每個袋子裡面的彈珠數量都不同矛盾,所以無解
以下的是附註,是考慮如改變題要的可能解:
如果1≦A,B,C,D,E,利用上面的結果,B,D=1或2
如果B=1,D=2,根據(2):
1+C≧12,C≧11
但是,根據(4):
A+C≦11
因為A≧1,所以C<11
這跟C≧11矛盾,所以無解
如果B=2,D=1,根據(3):
1+C≧12,C≧11
但是,根據(4):
A+C≦11
因為A≧1,所以C<11
這跟C≧11矛盾,所以無解
因此當B=1,D=2或B=2,D=1時,無解
所以1≦A,B,C,D,E時也是無解
如果袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
換言之,磅秤最多只能容載10個彈珠。
而條件仍然是每個袋子數量都在1個以上
那麼1<A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等
因為只要袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。
所以:
A+E≧11 ---(1)
B+C≧11 ---(2)
C+D≧11 ---(3)
A+C≦10 ---(4)
(1)+(2):
A+B+C+E≧11+11=22 → A+B+C+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個以上,因此D>1,所以D=2,3或4
(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個以上,因此B>1,所以B=2,3或4
設B<D:
如果B=2,D=3
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此A≦1,這跟A>1矛盾,所以無解
如果B=2,D=4
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此A≦1,這跟A>1矛盾,所以無解
如果B=3,D=4
那麼根據(2):C≧8
但是A+C≦10,因此A≦2,又因為A>1,所以A=2
因為A+E≧11,所以E≧9
A+B+C+D+E≧2+3+8+4+9=26
所以只有唯一解 → (A,B,D,C,E)=(2,3,4,8,9)記得要順序
如果袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
換言之,磅秤最多只能容載10個彈珠。
而條件是每個袋子數量都在1個或以上
那麼1≦A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等
因為只要袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。
所以:
A+E≧11 ---(1)
B+C≧11 ---(2)
C+D≧11 ---(3)
A+C≦10 ---(4)
(1)+(2):
A+B+C+E≧11+11=22 → A+B+C+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個或以上,因此D≧1,所以D=1,2,3或4
(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個或以上,因此D≧1,所以B=1,2,3或4
設B<D:
如果B=1,D=2
那麼根據(2):C≧10
但是A+C≦10,因此C=10,A=0,這跟A≧1矛盾,所以無解
如果B=1,D=3
那麼根據(2):C≧10
但是A+C≦10,因此C=10,A=0,這跟A≧1矛盾,所以無解
如果B=1,D=4
那麼根據(2):C≧10
但是A+C≦10,因此C=10,A=0,這跟A≧1矛盾,所以無解
如果B=2,D=3
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此C=9,A=1,
A+B+C+D+E=26
1+2+9+3+E=26
E=11
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(1,2,3,9,11)記得要順序
如果B=2,D=4
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此C=9,A=1,
A+B+C+D+E=26
1+2+9+4+E=26
E=10
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(1,2,4,9,10)記得要順序
如果B=3,D=4
那麼根據(2):C≧8
但是A+C≦10,因此C=8,A=1,或C=8,A=2,或C=9,A=1
如果(A,B,C,D)=(1,3,8,4)
A+B+C+D+E=26
1+3+8+4+E=26
E=10
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(1,3,4,8,10)記得要順序
如果(A,B,C,D)=(2,3,8,4)
A+B+C+D+E=26
2+3+8+4+E=26
E=9
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(2,3,4,8,9)記得要順序
如果(A,B,C,D)=(1,3,9,4)
A+B+C+D+E=26
1+3+9+4+E=26
E=9
跟C重複,所以無解
【問題7】
設每件貨物重量分別為w
1,w
2,w
3,...,w
n
且0<w
1,w
2,w
3,...,w
n≦350
及w
1+w
2+w
3+...+w
n=19500
w
1+w
2+w
3+...+w
n=19500
∴350+350+350+...+350≧19500
∴350n≧19500=(350)(55)+250
∴n≧56
因為(350)(4)=1400kg
所以每輛卡車最少可載4件貨物
我們以每車載最少貨計算,每輛卡車平均分4件貨物
當5件貨物時,平均=1500/5=300kg
因此要保證每車只有4件貨物,即是載量應該≧1500-300=1200kg
因此1200kg≦每車載量≦1500kg
19500/1200=16.25
所以最少要17輛卡車,才能把任何情況的貨物運送
【問題8】
因為班號依序越來越大,即是1≦p<q<r≦29,且pqr=360
那麼360=pqr>p
3
即是p<360
1/3≒7.1138,換言之p≦7
因為p是360的因數,所以p=1,2,3,4,5或6
如果p=1:
(p,q,r)=(1,15,24)或(1,18,20)
如果p=2:
(p,q,r)=(2,9,20),(2,10,18)或(2,12,15)
如果p=3:
(p,q,r)=(3,5,24),(3,6,20),(3,8,15)或(3,10,12)
如果p=4:
(p,q,r)=(4,5,18),(4,6,15)或(4,9,10)
如果p=5:
(p,q,r)=(5,6,12)或(5,8,9)
如果p=6,那麼(p,q,r)則無解
設F(p,q,r)=p+q+r
F(1,15,24)=40
F(1,18,20)=39
F(2,9,20)=31
F(2,10,18)=30
F(2,12,15)=29
F(3,5,24)=32
F(3,6,20)=29
F(3,8,15)=26
F(3,10,12)=25
F(4,5,18)=27
F(4,6,15)=25
F(4,9,10)=23
F(5,6,12)=23
F(5,8,9)=22
如果再知道3個人座號的和,便可知道3人分別的座號
以上的和中,只有23、25和29有兩種可能性,其它組合的和是唯一
如果得悉是其它唯一和的組合的話,那麼馬上便能得知(p,q,r)的實值
在不唯一的解中:
F(4,9,10)=F(5,6,12)=23
F(3,10,12)=F(4,6,15)=25
F(2,12,15)=F(3,6,20)=29
留意23的兩組可能性,6個數字都相異,此情況亦出現於25及29的可能解上
假設F(a,b,c)=F(d,e,f),且a,b,c,d,e,f兩兩相異
如果王同學的座號不在這6個數字中,那麼他仍無法判斷出哪組才是解
因此,王同學的座號理應在這6個數字中的其中一個
23: F(4,9,10),F(5,6,12)中,出現了(4,5,6,9,10,12)
25: F(3,10,12),F(4,6,15)中,出現了(3,4,6,10,12,15)
29: F(2,12,15),F(3,6,20)中,出現了(2,3,6,12,15,20)
在(4,5,6,9,10,12),(3,4,6,10,12,15)及(2,3,6,12,15,20)中
皆出現了6和12
再比較其他唯一和的解中,均無出現6和12
王同學的座號只有6或12,他才有信心找出三人的座號
所以王同學的座號=6或12