## [試卷]2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷 ### [試卷]2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<高中組>>初賽試卷 1.試卷提供：Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意

4.請在120分鐘內

5.等比賽宣佈結束

6.請確定看過試卷示例
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=2022

7.在你有任何疑問時

8.按下"回覆文章"計時120分開始 yll ### [試題本文]祝好運

2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

時間限制：120分鐘

一、填充題，共50分，一題10分，只需有答案

雖說是初賽比賽，但可不要因而鬆懈喔！請試解下列題目：

【問題1】有一三位數，除以5則餘2，除以7則餘3，除以9餘4，求此數
最大的值。

【問題2】有3個數，它們的和是6，立方和是26，積是6，求這三個數的平
方和?

【問題3】解方程式x+y+z=0
x3+y3+z3=-18

x,y,z皆為整數求(x,y,z)

【問題4】站在湖中小島的山峰上，看對岸的高峰仰角是30∘；看湖面，這
高峰的鏡射，俯角為45∘；所站的山峰高度為250公尺(從湖面算
起)，試求對岸山峰高度？

【問題5】試找出1*3*5*7*…*101的末兩位數

分數)

【第一題】在整數中，有可以用「兩個以上的連續正整數之和」的形式表示
的方法。
例如：9是9=4+5
9=2+3+4
像這樣用「兩個以上的連續正整數之和」表示的方法只有2種。
那請利用這樣的表示法，找出只有6種表示方法的整數中最小的整數。 yll Let the smallest number be k:
Since it has 6 types consecute sum, we can write as follows:
k=a+(a+1)=2a+1
k=b+(b+1)+(b+2)=3a+3
k=c+(c+1)+(c+2)+(c+3)=4c+6
k=d+(d+1)+(d+2)+(d+3)+(d+4)=5d+10
k=e+(e+1)+(e+2)+(e+3)+(e+4)+(e+5)=6e+15
k=f+(f+1)+(f+2)+(f+3)+(f+4)+(f+5)+(f+6)=7f+21

but 4c+6 must be even, and 2a+1 and 6e+15 must be odd, so we delete 4c+6, then add:
k=g+(g+1)+(g+2)+(g+3)+(g+4)+(g+5)+(g+6)+(g+7)=8g+28
this can also be deleted because it must be even, so we add:
k=h+(h+1)+(h+2)+(h+3)+(h+4)+(h+5)+(h+6)+(h+7)+(h+8)=9h+36

from 3a+3, 5d+10, 7f+21 and 9h+36, we know that k is the multiple of 315.
We found that when k=315, then (a,b,d,e,f,h)=(157,104,61,50,42,31)
So, the smallest number is 315

1)787
2)116/9
3)(x,y,z)=(1,2,-3),(1,-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,1,2),(-3,2,1)
4)933.01公尺(取值至小數點後2位)
5)25

-------------------------

k(n-3)/2+k(n+3)/2=2M/n
.....

-----------------------------

....

-----------------------------

1.設此數為5a+2，
5a+2=3(mod 7)
5a=1(mod 7)
5a=15(mod 7)
a=3(mod 7)

35b+17=4(mod 9)
-b-1=4(mod 9)
b=4(mod 9)

2.

a^3+b^3+c^3=26
a^3+b^3+c^3-3abc=8
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=8
(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]=8
6(36-3(ab+bc+ca))=8
18(12-(ab+bc+ca))=8
12-(ab+bc+ca)=4/9
ab+bc+ca=104/9
a^2+b^2+c^2
=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
=36-208/9
=116/9.

3.
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
-3xyz-18=0
xyz=-6
(x,y,z)=(1,2,-3)

4.
500/(sqrt3-1)

5.
1*3*...*101
=1*(-1)*3*(-3)*...*(49)*(-49)*1 (mod 100)
=-(1^2+....+49^2) (mod 100)
=-25^2(mod 100)
=-625(mod 100)
=75(mod 100)

1.設首項為a，末項為a+k-1，此數為n，則有
(a+a+k-1)k/2=n
(2a+k-1)k=2n

n=162

----

(1)
1.787
2.116/9
3.(1,2,-3),(1,-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,1,2),(-3,2,1)
4.315
5.25
(2)
105

1.787
2.31/3
3.(1,2,-3),(1.-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,2,1),(-3,1,2)
4.933
5.25

1. heron0520

1.787
2.36-(208/9)
3.(1,2,-3)
4.250+(500*SQR(3)/3)　註:sqr開根號的意思，因為我打不出來

mz

[問題一]887
[問題二]0
[問題三]我不會.... [問題四]500+250*(3)^(1/2)公尺
[問題五]75

Herbie

A part fill in the blanks:
1. 787
2. 116/9
3. don't know
4. (-250*sqrt(3)-250)/(1-sqrt(3))
5. 75

B part don't know

AJ Andy

### Re: [試題本文]祝好運

yll 寫到:[hide:31e5352fb5]
2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷

時間限制：120分鐘

一、填充題，共50分，一題10分，只需有答案

雖說是初賽比賽，但可不要因而鬆懈喔！請試解下列題目：

【問題1】有一三位數，除以5則餘2，除以7則餘3，除以9餘4，求此數
最大的值。

【問題2】有3個數，它們的和是6，立方和是26，積是6，求這三個數的平
方和?

【問題3】解方程式x+y+z=0
x3+y3+z3=-18

x,y,z皆為整數求(x,y,z)

【問題4】站在湖中小島的山峰上，看對岸的高峰仰角是30∘；看湖面，這
高峰的鏡射，俯角為45∘；所站的山峰高度為250公尺(從湖面算
起)，試求對岸山峰高度？

【問題5】試找出1*3*5*7*…*101的末兩位數

分數)

【第一題】在整數中，有可以用「兩個以上的連續正整數之和」的形式表示
的方法。
例如：9是9=4+5
9=2+3+4
像這樣用「兩個以上的連續正整數之和」表示的方法只有2種。
那請利用這樣的表示法，找出只有6種表示方法的整數中最小的整數。

[/hide:31e5352fb5]

(1)787
(2)103/6
(3)(a,b,c)=(-3,1,2)  ,(a,b,c對此題為對稱..可以互換)
(4)250(√(3)+1)
(5)25

=>此數必為2k+1之形式 , k為自然數

=>此數必為3k+3之形式

=>此數必為4k+6之形式(不合∵其必為偶)

=>此數必為5k+10之形式

=>此數必為6k+15之形式

=>此數必為7k+21之形式

=>此數必為8k+28之形式(不合∵其必為偶)

=>此數必為9k+36之形式

630k+315之形式

=945

A: 945

Searchtruth

1.787

2.116 / 9

3.(1,2,-3),(2,-3,1),(-3,1,2)

4.250(2+sq(3))

5.25

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2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組初賽試卷
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(1). 787
(2). 116/9
(3). (-3,2,1)
(4). 500/(sqrt3-1)
(5). 75

(1). 105

yptsoi

1) 652
2) 14
3) (3,-2,-1)
4) 933
5) 75

6) 算不出來........數學太爛了 superleo

3.    -1,-2,3
5.    75
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