[試卷]2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽青年組選拔賽試卷

[試卷]2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽青年組選拔賽試卷

yll 於 星期一 三月 31, 2003 8:59 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<青年組>>選拔賽試卷 ㄏㄏㄏ


1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的120分鐘作答

4.請在120分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定看過試卷示例
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=2022

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時120分開始
看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4370
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來自: 我將來要去的地方~

[試題本文]祝好運

yll 於 星期一 三月 31, 2003 9:04 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽青年組選拔賽試卷

                          時間限制:120分鐘

   各位數學經驗資深的朋友們!現在請你發揮你的實力,解決下面的題目吧

一、計算題,共100分,一題25分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部
    分分數)

  各位愛好數學的夥伴!只要你在這關晉級,你便可進入決賽!所以請加油吧!

  【問題1】203除以某個整數之後的商可以被餘數整除。請求出合乎條件的所
           有整數

  【問題2】去年2002年是個迴文年,因它從左念或從右念都一樣,請求出所
            有能被1995整除的8位數迴文數。且它除完後的商不一定要是迴
            文數。

  【問題3】有黑色(用B表示)和白色(用W表示)卡片各10張,共20張,在
            背面分別寫上0~ 9的數字。
            現在抽掉黑色和白色卡片各1張,並將剩餘的18張卡片徹底洗過
            之後,變成如下圖所示,1列排9張,排成2列。各列依照以下
            的規則排列。
            (1)卡片上的數字由小到大,依序從左排到右。
            (2)數字相同時,黑色排在白色的左邊
            第一列:WBBWWBBWW
            第二列:WWBWBBBBW
        抽掉的卡片:BW
請問被抽掉的那兩張卡片,分別是?

  【問題4】從1開始,逐次增加的整數數列中,從1到3的情況:
           1+2=3
          從1到20的情況:
           1+2+3+4+…+14=15+16+…+20
          像這樣,依照不變的順序增加,途中可以順利地分為2組,各組數
          目的和相等。
          在這樣的整數數列中,除了上面所舉的例子之外,最短的是從1
          到多少?

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4370
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---- 於 星期四 四月 03, 2003 5:08 pm


1. 設203=ay+b
其中y是除數,a是商,b是餘數,y>b
因為b|a,故b|203。
203=7x29
若b=29
則a>=29。此時y<=6,不合,因為y>b。
若b=7
a=7, y=28
a=14, y=14
a=21, y=28/3, 不合
a>=28時,y<=7,不合,因為y>b
故有(a,b,y)=(7,7,28),(14,7,14)
若b=1,a可以是任何符合條件的正整數,因為1|a
ay=202=2x101=1x202
有(a,y)=(2,101),(101,2),(1,202)

故答案為
(a,b,y)=(7,7,28),(14,7,14),(2,101),(101,2),(1,202)

2.這樣的八位數迴文數必然是abcddcba的模式。
因1995=3x5x7x19
故3|a+b+c+d
且a=5,否則此數不能被5整除)
即b+c+d=1(mod 3)
b+c+d=1,4,7,10,13,16,19,22,25
abcddcba
=a+3b-2c-d+4d+6c+b+3a(mod 7)
=4a+4b+4c+3d(mod 7)
=3(d-a-b-c)(mod 7)
=0(mod 7)
即d-a-b-c為7的倍數
d-5-b-c為7的倍數。
a+b+c-d為7的倍數。
b+5+c-d=0(mod 7)
b+c-d=2(mod 7)
b+c-d=-5, 2, 9, 16.
若b+c-d=-5,
b+c=d-5
b+c+d=2d-5=1 or 7 or 13
d=3 or 6 or 9.
因b+c>0, d>5,故d=6 or 9.
若b+c-d=2,
b+c=d+2
b+c+d=2d+2=4,10,16
d=1, 4, 7.
若b+c-d=9
b+c=d+9
b+c+d=2d+9=13,19,25.
d=2,5,8.
若b+c-d=16.
b+c=d+16
b+c+d=2d+16=22, d=3
無解。
故有(b,c,d)=(0,1,6),(1,0,6),(0,4,9),(1,3,9),(2,2,9),(3,1,9),(4,0,9),
(0,3,1),(1,2,1),(2,1,1),(3,0,1),(0,6,4),(1,5,4),(2,4,4),(3,3,4),(4,2,4)
,(5,1,4),(6,0,4),(0,9,7),(1,8,7),(2,7,7),(3,6,7),(4,5,7),(5,4,7),(6,3,7)
,(7,2,7),(8,1,7),(9,0,7),(2,9,2),(3,8,2),(4,7,2),(5,6,2),(6,5,2),(7,4,2)
,(8,3,2),(9,2,2),(5,9,5),(6,8,5),(7,7,5),(8,6,5),(9,5,5),(8,9,8),(9,8,8)

abcddcba=a+b+5c-7d+6d+3c-8b-4a(mod 19)
=-3a-7b+8c-d(mod 19)
=16a+12b+8c+18d(mod 19)
=8a+6b+4c+9d(mod 19)
=8a+6b+4c-10d(mod 19)
=4a+3b+2c-5d(mod 19)
=0(mod 19)
20+3b+2c-5d=0(mod 19)
3b+2c-5d=-1(mod 19)
以上面之組合試之。
無解。

3.

4.
設1+...+a=(a+1)+...+b,則
(1+a)a/2=(a+b+1)(b-a)/2
a^2+a=b^2+b-a^2-a
2a^2+2a=b^2+b
4a^2-b^2+2a-b=2a^2
(2a-b)(2a+b+1)=2a^2
引理: (2a-b) 與(2a+b+1) 互質。
證明:若命題不成立,設
2a-b=pn1,
2a+b+1=pn2, 其中p為(2a-b)與(2a+b+1)的一個質公因數
則p|2a^2
case i : p不整除2,p|a^2
則p|a(可用反證法證明),因2a-b=pn1
故p|b,
但2a+b+1=pn2,矛盾。
case ii: p 整除2,則
2a-b及2a+b+1均整除2
由2|2a-b 得b 為偶數
但2|2a+b+1 得b 為奇數,矛盾。
故(2a-b)與(2a+b+1)互質。
當a整除2時,2a-b或2a+b+1 需包含全部2的因子,不然他們不是互質。
但在此情況下,除了題目的兩組解外,並無解。

當a不整除2時,
因b>a, 2a-b<2a-a=a。故a不能為質數
為使其最小,
當a=15時,
2a-b=3, 2a+b+1=150, 無解。
2a-b=5, 2a+b+1=90, 無解。
2a-b=6, 2a+b+1=75, 無解。
2a-b=10,2a+b+1=45,無解。
當a=21時,
2a-b=3,無解。
2a-b=7, 2a+b+1=126, 無解
2a-b=14, 2a+b+1=63,無解。
2a-b=18, 2a+b+1=49
當a=35時,
2a-b=5, 無解。
2a-b=7,無解。
2a-b=25,無解。

~~~~ 很可憐呀,有事要做,得先走~~~

----
訪客
 

--- 於 星期六 四月 05, 2003 2:12 am


Q4:

n(n+1)/2=m(m+1)/2*2=m(m+1)

n(n+1)=2m(m+1)

(2n+1)^2-1=2(2m+1)^2-2
let p=2n+1, q=2m+1

2qq-p=1... Pell's Equation!

sqrt2=(1;2,2...)

characteristic eq: xx-(2*2+2)x+1=0

p0=1, q0=1
p1=2*n1+1=2*3+1=7,  q1=2m1+1=2*2+1=5
p2=6p1-p0=41
q2=6q1-q0=29
n2=(p2-1)/2=20
m2=(q2-1)/2=14

p3=6p2-p1=239
q3=6q2-q1=169
n3=(p3-1)/2=119
m3=(q3-1)/2=84

Ans: 1+2+...+84=85+...+119
===
Q1:

203=pq+r, p>r
q=kr
203=1*203=7*29=r(kp+1)
when r=1, kp=202, p=202,101
when r=7, kp=28, p=28, 14
when r=29, kp=7,不能
when r=209, kp=0,不能

Ans: 202, 101, 28 or 14

===
Q2:7*19*3*5*k=10000001a+1000010b+100100c+11000d
a=5
7*19*3*k=10000001+200002b+20020c+2200d
k=11x
7*19*3*x=909091+18182b+1820c+200d
2(b+c+d)     mod 3 = 2

(b+c+d)     mod 3 = 1
(-2b+d)     mod 7 = 3
(-b+11c+2d)     mod 19 = 2

when b=1, d=6,c= 0
when b=2, d=7,c=7,
when b=3, d=1, c=6,

...
...

Ans:51066015,52777725,53611635

---
訪客
 

Herbie 於 星期日 四月 06, 2003 6:06 pm


什麼都沒有~~~

Herbie

 
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註冊時間: 2003-01-16
來自: 港都-打狗

Raceleader 於 星期二 四月 08, 2003 5:30 pm


問題1
q=商, d=被除數, r=餘數 (d≠0, d>r)
203=qd+r, and q=kr
203=krd+r=r(kd+1)
203=1*203=7*29

Case 1:
r(kd+1)=1*203

r=203 and kd+1=1 (rejected since d>r)

r=1 and kd+1=203
kd=202=1*202=2*101 (d>r)
So, d=2, 202 or 101

Case 2:
r(kd+1)=7*29
Since d>r, so r=7, kd+1=29
kd=28
d=1,2,4,7,14,28 (but d>r)
So, d=14,28 only

d=2,14,28,101,202


問題2:
Let the 8 digit number be: abcddcba: (a≠0)
1995=3*5*7*19

因為5的倍數尾數是5或0,但a≠0
因此a=5

5bcddcb5

3*5*7*19*N=10000000*5+1000000b+100000c+10000d+1000d+100c+10b+5
3*5*7*19*N=50000005+1000010b+100100c+11000d=55(909091+18182b+1820c+200d)
N是11的倍數

5bcddcb5=21945k

3的倍數所有數字和都是3的倍數
10+2(b+c+d)=3N
2(b+c+d)=2mod(3)
b+c+d=1(mod3)

7的倍數:
5b cdd cb5
[(50+b)+(100c+10b+5)]-(100c+11d)=7M
(5+b-d)=0mod7

When b=0, c=2, 5, 8, d=5 (All false)
When b=1, c=0,3,6,9, d=6 (51066015)
When b=2, c=2,5,8,, d=0 or c=1,4,7, d=7 (52777725)
When b=3, c=0,3,6, d=1 or c=2,5,8, d=8 (53611635)
When b=4-9, we have no solution

So, 51066015, 52777725, 53611635

問題3:
If row 1 last B is 9, then row 1 last W =10 (Contradict), so row 2 last B=9

I think B0 and W6 are omitted

問題4:
1+2+3+...+n=(n+1)+(n+2)+...+m
1+2+3+...+n=1+2+3+...+m-(1+2+3+...+n)
2(1+2+3+...+n)=1+2+3+...+m
2n(n+1)=m(m+1)
(m+1/2)2-1/4=2(n+1/2)2-1/2
2(2n+1)2-(2m+1)2=1 (a=2n+1, b=2m+1)
2a2-b2=1
a2=(1/2)(b2+1)
a,b must be odd
(a,b)=(1,1)
(a,b)=(5,7)
(a,b)=(29,41)
(a,b)=(169,239)

m=119, n=84
1+2+3+...+84=85+86+...+119

Raceleader
訪客
 

紅樓子 於 星期五 四月 11, 2003 12:41 am


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽青年組選拔賽試卷

時間限制:120分鐘

各位數學經驗資深的朋友們!現在請你發揮你的實力,解決下面的題目吧

一、計算題,共100分,一題25分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部
分分數)

各位愛好數學的夥伴!只要你在這關晉級,你便可進入決賽!所以請加油吧!

【問題1】203除以某個整數之後的商可以被餘數整除。請求出合乎條件的所
有整數

sol.》
已知203=bq+r,又r=bk代入:
→→→203=b(q+k)=1*203=7*29=29*7=203*1
所以,b=±1,±7,±29.±203。


【問題2】去年2002年是個迴文年,因它從左念或從右念都一樣,請求出所
有能被1995整除的8位數迴文數。且它除完後的商不一定要是迴
文數。


【問題3】有黑色(用B表示)和白色(用W表示)卡片各10張,共20張,在
背面分別寫上0~ 9的數字。
現在抽掉黑色和白色卡片各1張,並將剩餘的18張卡片徹底洗過
之後,變成如下圖所示,1列排9張,排成2列。各列依照以下
的規則排列。
(1)卡片上的數字由小到大,依序從左排到右。
(2)數字相同時,黑色排在白色的左邊
第一列:WBBWWBBWW
第二列:WWBWBBBBW
抽掉的卡片:BW
請問被抽掉的那兩張卡片,分別是?

Sol.》
抽掉的B=0 is surely!
第一列:WBBWWBBWW → 012234556 不合
第二列:WWBWBBBBW→
第一列:WBBWWBBWW → 345567889不合
第二列:WWBWBBBBW →
第一列:WBBWWBBWW → 012345678不合
第二列:WWBWBBBBW → 123456789
我們排除了三組可能情況,離成功已不遠。

第一列:WBBWWBBWW → 012456778
第二列:WWBWBBBBW → 123345899

see!As I said,we get it.
所以,B=0、W=6。


【問題4】從1開始,逐次增加的整數數列中,從1到3的情況:
1+2=3
從1到20的情況:
1+2+3+4+…+14=15+16+…+20
像這樣,依照不變的順序增加,途中可以順利地分為2組,各組數
目的和相等。
在這樣的整數數列中,除了上面所舉的例子之外,最短的是從1
到多少?


第二題花太久時間ㄌ,這題放棄嚕。

紅樓子
訪客
 






各種重要數學考題討論