[大學]線性代數 四個基本子空間的問題

[大學]線性代數 四個基本子空間的問題

喬魯諾喬巴納 於 星期一 二月 03, 2020 7:59 pm


我想請問一個問題
Ax=b的話 我能理解 如果有解 b是A的列向量的線性組合
但我今天開放式課程時看見了 同時 x是A的行向量的線性組合 這邊我就無法理解了
求解釋

喬魯諾喬巴納
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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

lskuo 於 星期二 二月 04, 2020 11:10 am


喬魯諾喬巴納 寫到:我想請問一個問題
Ax=b的話 我能理解 如果有解 b是A的列向量的線性組合
但我今天開放式課程時看見了 同時 x是A的行向量的線性組合 這邊我就無法理解了
求解釋

這樣的發問,最好附上該開放式課程的連結,指出是在哪一段落有這樣的說法,避免誤會。

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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

lskuo 於 星期五 二月 28, 2020 3:01 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
喬魯諾喬巴納 寫到:我想請問一個問題
Ax=b的話 我能理解 如果有解 b是A的列向量的線性組合
但我今天開放式課程時看見了 同時 x是A的行向量的線性組合 這邊我就無法理解了
求解釋


今天剛好看到這一頁,覺得有些體會。
(p.271, 右頁)中間說: The second important way to think of these system is to consider the solutions (x_1,...,x_n) as vectors in V_n, the space of n-tuples over F.
如果把equation (3) 看做是(x_1,...,x_n)與m個列向量的內積,相當於是求(x_1,...x_n)在每個列向量中的投影(分量)。所以如果有解,x是所有列向量的線性組合。


(直行橫列,你的說法剛好相反)

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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

喬魯諾喬巴納 於 星期一 三月 23, 2020 2:49 pm


lskuo 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
喬魯諾喬巴納 寫到:我想請問一個問題
Ax=b的話 我能理解 如果有解 b是A的列向量的線性組合
但我今天開放式課程時看見了 同時 x是A的行向量的線性組合 這邊我就無法理解了
求解釋


今天剛好看到這一頁,覺得有些體會。
(p.271, 右頁)中間說: The second important way to think of these system is to consider the solutions (x_1,...,x_n) as vectors in V_n, the space of n-tuples over F.
如果把equation (3) 看做是(x_1,...,x_n)與m個列向量的內積,相當於是求(x_1,...x_n)在每個列向量中的投影(分量)。所以如果有解,x是所有列向量的線性組合。


(直行橫列,你的說法剛好相反)


抱歉不知道有人回覆太晚回,
請問若是如圖 是列空間的拓展集,那x會出現在哪裡呢 補充你說的是對的,我學習的是大陸那的資源行列相反

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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

lskuo 於 星期二 三月 24, 2020 9:18 pm


抱歉不知道有人回覆太晚回,
請問若是如圖 是列空間的拓展集,那x會出現在哪裡呢 補充你說的是對的,我學習的是大陸那的資源行列相反

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖[/quote]

對不起,不熟名詞的翻譯,拓展集? (spanned space)
Ax=b, Ay=0, ==> A(x+y) = b
你可以想成有particular solution, say x_p, x_p是在 row space, Ax_p = b
但上式可以看出,Ay=0的解,  (我們稱x_h, 其所在的space為 null space), (x_p + x_h)也是 Ax=b的解
null space 與 row space 是互相垂直的,意思是說兩空間中的向量互相垂直的

對應到你的圖,如果我理解沒有錯誤的話,x_p 在R(A) 上,
其實你網路上google 一下 column space, row space, null space, 應該有更詳細的說明。
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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

喬魯諾喬巴納 於 星期三 三月 25, 2020 6:08 pm


lskuo 寫到:
拓展集? (spanned space)
#拓展集是一個用有限向量表達向量空間的向量集合
若是依此定義請問我有思考錯誤嗎
Ax=b, Ay=0, ==> A(x+y) = b
你可以想成有particular solution, say x_p, x_p是在 row space, Ax_p = b
#請問為何 Ax_p=b x_p in R(A)呢
但上式可以看出,Ay=0的解,  (我們稱x_h, 其所在的space為 null space), (x_p + x_h)也是 Ax=b的解
null space 與 row space 是互相垂直的,意思是說兩空間中的向量互相垂直的

#那麼如果 x in R(A)+N(A)
所以意思是 x落在R(A) or N(A)嗎

再次感謝,抱歉我問了這麼多

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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

lskuo 於 星期四 三月 26, 2020 6:38 pm


#請問為何 Ax_p=b x_p in R(A)呢
這在我第二次的回文中已經答覆了,請再仔細看一遍,注意向量內積的意義,當有所體會。

#那麼如果 x in R(A)+N(A)
所以意思是 x落在R(A) or N(A)嗎

這要怎麼說呢?x是n維向量,一定是在R(A) + N(A)=n-dimensional space。
x_p: particular solution,
x_h: homogeneous solution.
類似線性微分方程中的解 x = homogeneous solution + particular solution 一樣。

看來你對為什麼要把 n-D space 分成R(A) 和 N(A)來討論,沒有把握到重點。這跟上面說的內積有關聯,再多想看看,網路上搜尋 column space, row space, null space 的說明,會很有幫助。

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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

喬魯諾喬巴納 於 星期五 三月 27, 2020 7:55 pm


lskuo 寫到:#請問為何 Ax_p=b x_p in R(A)呢
這在我第二次的回文中已經答覆了,請再仔細看一遍,注意向量內積的意義,當有所體會。

#那麼如果 x in R(A)+N(A)
所以意思是 x落在R(A) or N(A)嗎

這要怎麼說呢?x是n維向量,一定是在R(A) + N(A)=n-dimensional space。
x_p: particular solution,
x_h: homogeneous solution.
類似線性微分方程中的解 x = homogeneous solution + particular solution 一樣。

看來你對為什麼要把 n-D space 分成R(A) 和 N(A)來討論,沒有把握到重點。這跟上面說的內積有關聯,再多想看看,網路上搜尋 column space, row space, null space 的說明,會很有幫助。


請問,我這樣說對嗎
Ax=b有解 而x一定是N(A) or R(A)但A*N(A)=0
所以x在R(A)

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Re: [大學]線性代數 四個基本子空間的問題

lskuo 於 星期六 三月 28, 2020 1:47 am



請問,我這樣說對嗎
Ax=b有解 而x一定是N(A) or R(A)但A*N(A)=0
所以x在R(A)

x_p一定在R(A), 而且是唯一的解, 被b所決定, 因為b決定了x在R(A) 的投影分量,
但x_h 一定在N(A),其值是任意的,因為Ax_h =0,
所以如果有解,在R(A)一定有不為零的分量,但不一定要有在N(A) 的分量,可以是0,也可以不是0. 完整的解不能捨棄x_h啊!

所以你硬要只說R(A), 排除N(A), 只能適用特殊的情況,例如m=n且det(A)不等於0,那就有唯一解,因為dim(N(A))=0, dim(R(A))=n

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