[問題][大學][積分] f(x)=1/x is not integrable 為什麼x1*=1/n^2?

[問題][大學][積分] f(x)=1/x is not integrable 為什麼x1*=1/n^2?

.1415 於 星期六 十一月 23, 2019 9:01 am


原文題目:Let f(0) = 0 and f(x) = 1/x if 0 < x ≤ 1. Show that f is not integrable on [0, 1]. [Hint: Show that the first term in the Riemann sum, f(x1*) Δx, can be made arbitrarily large.]

網路上的解法:https://www.slader.com/discussion/question/let-and-if-show-that-is-not-integrable-on-hint-show-that-the-first-term-in-the-riemann-sum-can-be-ma/

我不太清楚為甚麼他寫x1*=1/n^2?

.1415
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Re: [問題][大學][積分] f(x)=1/x is not integrable 為什麼x1*=1/n^2?

lskuo 於 星期一 十一月 25, 2019 12:17 am


.1415 寫到:原文題目:Let f(0) = 0 and f(x) = 1/x if 0 < x ≤ 1. Show that f is not integrable on [0, 1]. [Hint: Show that the first term in the Riemann sum, f(x1*) Δx, can be made arbitrarily large.]

網路上的解法:https://www.slader.com/discussion/question/let-and-if-show-that-is-not-integrable-on-hint-show-that-the-first-term-in-the-riemann-sum-can-be-ma/

我不太清楚為甚麼他寫x1*=1/n^2?



他的意思是對第1個區間{0,1/n]的長條面積,寛度已經決定了(=1/n),那如何決定高度?
根據可積的定義,我們可以選此區間內任一函數值,所以他就選一個特例,使得此長條面積隨n變大
其實你也可以選不同值,比如說
0 < x1 = 2/n^2 <1/n
f(x1) = n^2/2,  
area = (1/n)*(n^2/2) = n/2
當 n趨近於無限大時,第1個區間的長條面積也趨近於無限大,因而得出不可積的結論。

lskuo
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註冊時間: 2010-11-10






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