由 benice 於 星期三 十一月 14, 2018 8:44 am
將原題目改成計算題,敘述如下:
從 1 開始,寫出一組連續的正整數等差數列,然後擦去一個數,其餘數的平均值為 35 又 7/17。
試寫出此等差數列,並求出擦去的數。
解:
1.依題意列式:
設此等差數列的公差為 d,項數為 n,且令擦去的數為 x,則:
(等差數列的和 - x)/(n-1) = 35 + 7/17
即
{n[2 + (n-1)d]/2 - x}/(n-1) = 35 + 7/17 ............ (1)
得
n[2 + (n-1)d]/2 - x = (35 + 7/17)(n-1)
x = n[2 + (n-1)d]/2 - (35 + 7/17)(n-1) ............. (2)
因為 (35 + 7/17)(n-1)(= 等差數列的和 - x)為正整數,所以 n-1 為 17 的倍數。
由於『零個數字的平均值為無意義』,所以 n-1 ≠ 0,因此 n-1 ≧ 17,故 n ≧ 18。
2.求公差 d 的範圍:
由 (1) 式得
n[1 + (n-1)d/2]/(n-1) = 35 + 7/17 + x/(n-1)
n/(n-1) + nd/2 = 35 + 7/17 + x/(n-1)
n/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + [1 + (n-1)d]/(n-1) ...... ∵ x ≦ 數列末項 = 1 + (n-1)d
n/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + 1/(n-1) + d
n/(n-1) - 1/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + d
1 + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + d
nd/2 ≦ 34 + 7/17 + d ................... (3)
18d/2 ≦ 34 + 7/17 + d .................. ∵ n ≧ 18
8d ≦ 34 + 7/17
d ≦ (34 + 7/17)/8 = 4 + 41/136
d ≦ 4
3.求項數 n 的可能值:
由 (3) 式得
n ≦ 2(34 + 7/17)/d + 2
將 d = 1, 2, 3, 4 分別代入上式得:
d = 1 時,n ≦ 2(34 + 7/17) + 2 = 70 + 14/17
d = 2 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/2 + 2 = 36 + 7/17
d = 3 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/3 + 2 = 24 + 16/17
d = 4 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/4 + 2 = 19 + 7/34
所以
d = 1 時,n ≦ 70
d = 2 時,n ≦ 36
d = 3 時,n ≦ 24
d = 4 時,n ≦ 19
由『n-1 為 17 的倍數』得
n-1 = 17 or 34 or 51 or 68 or .....
n = 18 or 35 or 52 or 69 or .....
故
d = 1 時,n = 18 or 35 or 52 or 69
d = 2 時,n = 18 or 35
d = 3 時,n = 18
d = 4 時,n = 18
4.求擦去的數 x:
以下利用 (2) 式計算 x 值。
d = 1,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -431 (負數不合)
d = 1,n = 35 時,x = 35[2 + (35-1)]/2 - (35 + 7/17)(35-1) = -574 (負數不合)
d = 1,n = 52 時,x = 52[2 + (52-1)]/2 - (35 + 7/17)(52-1) = -428 (負數不合)
d = 1,n = 69 時,x = 69[2 + (69-1)]/2 - (35 + 7/17)(69-1) = 7
驗證:1 + (k-1)*1 = 7 ==> k = 7
所以 x = 7 為數列的第 7 項,合乎所求。
d = 2,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*2]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -278 (負數不合)
d = 2,n = 35 時,x = 35[2 + (35-1)*2]/2 - (35 + 7/17)(35-1) = 21
驗證:1 + (k-1)*2 = 21 ==> k = 11
所以 x = 21 為數列的第 11 項,合乎所求。
d = 3,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*3]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -125 (負數不合)
d = 4,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*4]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = 28
驗證:1 + (k-1)*4 = 28 ==> k = 31/4
所以 x = 28 非數列之項,不合。
5.結論:
等差數列為 1, 2, 3, ..., 69 (公差為 1,項數為 69),擦去的數為 7 (第 7 項)。
等差數列為 1, 3, 5, 7, ..., 69 (公差為 2,項數為 35),擦去的數為 21 (第 11 項)。