[高中]求教:一個三角函數之不等式證明

[高中]求教:一個三角函數之不等式證明

12monkeys 於 星期一 十月 29, 2018 2:19 pm


在一銳角三角形ABC中, 0度<= 角A,角B,角C <=90度,
試證cosA+cosB+cosC<=3cos[(A+B+C)/3]=3/2

感謝賜教!!!

12monkeys
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benice 於 星期二 十月 30, 2018 1:43 am


原題目限制銳角三角形,其實非必要,修改題目如下:
在任意三角形 ABC 中,試證 cosA + cosB + cosC ≦ 3/2。


證法一:

cosA + cosB + cosC
= cosA + 2 cos[(B+C)/2] cos[(B-C)/2] ............. By 和差化積
= cosA + 2 sin[π/2 - (B+C)/2] cos[(B-C)/2] ...... By 餘角關係
= cosA + 2 sin(A/2) cos[(B-C)/2] ................. ∵ A + B + C = π, ∴ π/2 - (B+C)/2 = A/2
≦ cosA + 2 sin(A/2) .............................. ∵ sin(A/2) > 0 且 0 < cos[(B-C)/2] < 1 (詳見附註)
= cos(2*A/2) + 2 sin(A/2)
= 1 - 2 sin²(A/2) + 2 sin(A/2) ................... By 倍角公式
= -2[sin²(A/2) - sin(A/2) + 1/4] + 3/2 ........... By 配方法
= -2[sin(A/2) - 1/2]² + 3/2
≦ 3/2 ■

附註:
∵ 0 < A < π, ∴ 0 < A/2 < π/2, ∴ sin(A/2) > 0
∵ 0 < B, C < π, ∴ -π < B-C < π, ∴ -π/2 < (B-C)/2 < π/2, ∴ 0 < cos[(B-C)/2] < 1


證法二:

cosA + cosB + cosC - 1
= (b² + c² - a²)/(2bc) + (a² + c² - b²)/(2ac) + (a² + b² - c²)/(2ab) - 1 ...... By 餘弦定律
= (ab² + ac² - a³ + ba² + bc² - b³ + ca² + cb² - c³ - 2abc) / (2abc)
= [a²(b+c-a) + b²(a+c-b) + c²(a+b-c) - 2abc] / (2abc)
= [a²(b+c-a) - b²(b+c-a) - c²(b+c-a) + 2b²c + 2c²b - 2abc] / (2abc)
= [a²(b+c-a) - b²(b+c-a) - c²(b+c-a) + 2bc(b+c-a)] / (2abc)
= (b+c-a)(a² - b² - c² + 2bc) / (2abc)
= (b+c-a)[a² - (b-c)²] / (2abc)
= (b+c-a)[a - (b-c)][a + (b-c)] / (2abc)
(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) / (2abc)
√(b+c-a)√(a+c-b) √(a+c-b)√(a+b-c) √(a+b-c)√(b+c-a) / (2abc) ...... By 三角形的任兩邊和大於第三邊
≦ {[(b+c-a)+(a+c-b)]/2} {[(a+c-b)+(a+b-c)]/2} {[(a+b-c)+(b+c-a)]/2} / (2abc) ...... By 算幾不等式
= cab / (2abc)
= 1/2

所以,cosA + cosB + cosC ≦ 1 + 1/2 = 3/2。 ■

benice
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Re: [高中]求教:一個三角函數之不等式證明

lskuo 於 星期二 十月 30, 2018 3:47 pm


12monkeys 寫到:在一銳角三角形ABC中, 0度<= 角A,角B,角C <=90度,
試證cosA+cosB+cosC<=3cos[(A+B+C)/3]=3/2

感謝賜教!!!

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[高中]:感謝 benice 與 IsKou的大力幫忙!!!!!

12monkeys 於 星期二 十月 30, 2018 8:29 pm


被醍醐灌頂囉....

benice 提供的兩種精彩證法!!!
IsKou 的證法亦是一絕!!!

感謝兩位!!!

PS:
請問IsKou 兄, 如何做才能上傳像你貼上的解題(證明)圖檔呢?
感謝!!!

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Re: [高中]:感謝 benice 與 IsKou的大力幫忙!!!!!

lskuo 於 星期二 十月 30, 2018 10:35 pm


12monkeys 寫到:被醍醐灌頂囉....

benice 提供的兩種精彩證法!!!
IsKou 的證法亦是一絕!!!

感謝兩位!!!

PS:
請問IsKou 兄, 如何做才能上傳像你貼上的解題(證明)圖檔呢?
感謝!!!


上傳圖檔是回覆時,網頁裡面WYSWYG - Rich Text Editor 就有的功能啊!
如果你是問怎麽打方程式,那我是用latex寫好後,再螢幕擷圖。
(可能系統不知哪裡更新,ubuntu 下的 kile 突然無法切換中文輸入模式,所以暫時沒有中文解答)

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benice 於 星期三 十月 31, 2018 12:58 am


lskuo 的證法很特別,讚!


原題目如果不限高中數學也可使用 Jensen's inequality (延森不等式),
直接套用以下網頁的 (4) 式即可:
https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality


還可推廣如下:

       若 -π/2 ≦ x1, x2, ..., xn ≦ π/2,
       則 cos(x1) + cos(x2) + ... + cos(xn) ≦ n cos[(x1 + x2 + ... + xn)/n]。


不過,以上不等式的成立範圍遠大於 -π/2 ≦ x1, x2, ..., xn ≦ π/2,
例如:

(n = 2)
不等式 cos(x) + cos(y) ≦ 2 cos((x + y)/2) 的圖示如下(紅色區域):

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
(4k-1)π ≦ x + y ≦ (4k+1)π, k 為整數


(n = 3)
不等式 cos(x) + cos(y) + cos(z) ≦ 3 cos((x + y + z)/3) 之邊界曲面
cos(x) + cos(y) + cos(z) = 3 cos((x + y + z)/3) 的圖示如下:

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

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[高中] 不同之美: 由高等數學俯瞰高中數學!!!

12monkeys 於 星期三 十月 31, 2018 1:19 pm


感謝benice 兄提供由高等數學俯瞰高中數學之解, 令人著實耳目一新......
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