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請教數學問題、謝謝您的幫忙，謝謝


(1) 設  ---> 我打不出來
M = p2 + p6q2 + p3 − 2(20182 − 2018 × 2017 + 20172),
則下列敘述何者為真? (A) M <0> 1 (C) M = 0.

需敘明理由。

(2) 設x2 + y2  2. 則|x2 − 2xy − y2| 的最大值為何?
(3) 使得x2 + x − 2 是一個整數的平方的整數x 共有幾個?
(4) [x] 表示不大於x 的最大整數。試問: 方程式
x2 − 8[x] + 7 = 0
的所有實數解的個數是幾個?

幫解一題：

(4)

設實數 x 滿足 x² - 8[x] + 7 = 0，
則
        8[x] = x² + 7 ................ (*)

因為 [x] 為不大於 x 的最大整數，
所以
        x - 1 ＜ [x] ≦ x。

由 (*) 得 [x] = (x² + 7)/8，代入以上不等式，
得
        x - 1 ＜ (x² + 7)/8 ≦ x。

解以上不等式：
8x - 8 ＜ x² + 7 ≦ 8x
8x - 8 ＜ x² + 7  且  x² + 7 ≦ 8x
x² - 8x + 15 ＞ 0  且  x² - 8x + 7 ≦ 0
(x - 5)(x - 3) ＞ 0  且  (x - 7)(x - 1) ≦ 0
( x ＞ 5  或  x ＜ 3 )  且  1 ≦ x ≦ 7
1 ≦ x ＜ 3  或  5 ＜ x ≦ 7 ................ (**)

所以
1 ≦ x² ＜ 9  或  25 ＜ x² ≦ 49
8 ≦ x² + 7 ＜ 16  或  32 ＜ x² + 7 ≦ 56

由 (*) 知 x² + 7 為 8 的倍數，所以由上式得
x² + 7 = 8, 40, 48, 56
x² = 1, 33, 41, 49
x = 1, √33, √41, 7 〔-1, -√33, -√41, -7 皆不符合 (**)〕

故方程式 x² - 8[x] + 7 = 0 共有 4 個實數解。 ■


附圖：



上圖中，a = √33，b = √41，函數 f(x) = x² - 8[x] + 7。

第 (4) 題如果將原題目的敘述

        [x] 表示不大於 x 的最大整數

改成

        [x] 表示不小於 x 的最小整數，

則方程式的實數解個數仍然為 4 個，
但是解變成 x = 1, 7, √57, √65。


附圖：



上圖中，a = √57，b = √65。