[高中]指數方程

[高中]指數方程

mo 於 星期三 十一月 29, 2017 5:29 pm


2^x-1+(a-1)2^x/2+(a+3)=0 有兩相異正根 求A 範圍

mo
訪客
 

benice 於 星期四 十一月 30, 2017 8:30 am


假設你的式子是 2^(x-1) + (a-1) 2^(x/2) + (a+3) = 0。

解:

令 y = 2^(x/2),則 x > 0 ==> y > 1。

將原方程式轉換成 y 的二次方程式:

    y²/2 + (a-1)y + (a+3) = 0

解以上方程式:

    y² + 2(a-1)y + 2(a+3) = 0
    y² + 2(a-1)y + (a-1)² = (a-1)² - 2(a+3)
    (y + a-1)² = a² - 4a - 5
    y = 1 - a ± √(a² - 4a - 5)

因為原方程式有兩相異正根,且 x 與 y 為一對一的對映關係,
所以 a² - 4a - 5 > 0 且 1 - a - √(a² - 4a - 5) > 1,
即     a² - 4a - 5 > 0 且 a + √(a² - 4a - 5) < 0。

    a² - 4a - 5 > 0
    ==> (a - 5)(a + 1) > 0
    ==> a < -1  或  a > 5

但是 a > 5 時,a + √(a² - 4a - 5) 不可能小於 0,
所以 a < -1。

    a + √(a² - 4a - 5) < 0 且 a < -1
    ==> a² > a² - 4a - 5
    ==> 4a > -5
    ==> a > -5/4

所以,a 的範圍為 -5/4 < a < -1。■


(補充)

a 值與原方程式根的個數關係:

   (1) a > -1 ...... 無實根
   (2) a = -1 ...... 一正根
   (3) -5/4 < a < -1 ...... 兩相異正根
   (4) a = -5/4 ...... 一正根與一零根
   (5) -3 < a < -5/4 ...... 一正根與一負根
   (6) a ≦ -3 ...... 一正根


附圖:

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benice
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註冊時間: 2010-02-08






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