假設你的式子是 2^
(x-1
) + (a-1) 2^
(x/2
) + (a+3) = 0。
解:
令 y = 2^(x/2),則 x > 0 ==> y > 1。
將原方程式轉換成 y 的二次方程式:
y²/2 + (a-1)y + (a+3) = 0
解以上方程式:
y² + 2(a-1)y + 2(a+3) = 0
y² + 2(a-1)y + (a-1)² = (a-1)² - 2(a+3)
(y + a-1)² = a² - 4a - 5
y = 1 - a ± √(a² - 4a - 5)
因為原方程式有兩相異正根,且 x 與 y 為一對一的對映關係,
所以 a² - 4a - 5 > 0 且 1 - a - √(a² - 4a - 5) > 1,
即 a² - 4a - 5 > 0 且 a + √(a² - 4a - 5) < 0。
a² - 4a - 5 > 0
==> (a - 5)(a + 1) > 0
==> a < -1 或 a > 5
但是 a > 5 時,a + √(a² - 4a - 5) 不可能小於 0,
所以 a < -1。
a + √(a² - 4a - 5) < 0 且 a < -1
==> a² > a² - 4a - 5
==> 4a > -5
==> a > -5/4
所以,a 的範圍為 -5/4 < a < -1。■
(補充)
a 值與原方程式根的個數關係:
(1) a > -1 ...... 無實根
(2) a = -1 ...... 一正根
(3) -5/4 < a < -1 ...... 兩相異正根
(4) a = -5/4 ...... 一正根與一零根
(5) -3 < a < -5/4 ...... 一正根與一負根
(6) a ≦ -3 ...... 一正根
附圖: