[國中]兩題想不開

[國中]兩題想不開

訪客 於 星期日 十一月 19, 2017 2:49 am


(1)10的2002次方再加1,是否為質數?
(2)A=123456789101112131415161718192021.............20162017,A除以11的餘數?

訪客

 

benice 於 星期四 十一月 23, 2017 11:12 am



第 (1) 題:

以下證明 10^2002 + 1 為 101 的倍數。

10^2002 + 1
= 100^1001 - 100 + 101
= 100(100^1000 - 1) + 101
= 100(100^500 + 1)(100^250 + 1)(100^125 + 1)(100^125 - 1) + 101

100^125 + 1
= 100^125 - 100 + 101
= 100(100^124 - 1) + 101
= 100(100^62 + 1)(100^31 + 1)(100^31 - 1) + 101

100^31 + 1
= 100^31 - 100 + 101
= 100(100^30 - 1) + 101
= 100(100^15 + 1)(100^15 - 1) + 101

100^15 + 1
= 100^15 - 100 + 101
= 100(100^14 - 1) + 101
= 100(100^7 + 1)(100^7 - 1) + 101

100^7 + 1
= 100^7 - 100 + 101
= 100(100^6 - 1)+ 101
= 100(100^3 + 1)(100^3 - 1) + 101

100^3 + 1
= (100 + 1)(100^2 - 100 + 1) ...... 公式:a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
= 101(100^2 - 100 + 1)
所以,100^3 + 1 為 101 的倍數。

由下往上依序可知 100^7 + 1, 100^15 + 1, 100^31 + 1, 100^125 + 1
及 10^2002 + 1 皆為 101 的倍數。

因此,10^2002 + 1 不是質數。

benice
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benice 於 星期四 十一月 23, 2017 2:05 pm



請問第 (2) 題的答案是 3 嗎?
我用電腦算出的答案為 3,想確認一下我輸入的字串是否有誤。

benice
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訪客 於 星期四 十一月 23, 2017 2:32 pm


106嘉義高中科學班甄選題第4題,公布的答案是1,(我用推的答是3)

訪客

 

benice 於 星期四 十一月 23, 2017 6:07 pm



我用 11 的倍數判別法:『從右往左每兩位為一組,每組相加的結果能被11整除。』
算出各組相加總合為 136918,而 136918 除以 11 的餘數為 1。

後來我在計算軟體裡面直接產生整數 A = 123456789101112131415161718192021.............20162017,
再計算出餘數 Mod[A,11] 也是 1。

先前算錯是因為先用另一個軟體產生字串 123456789101112131415161718192021.............20162017,
再複製並貼到計算軟體裡面,計算軟體可能將貼上的字串當成浮點數而非整數,才會產生錯誤的結果。

benice
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benice 於 星期四 十一月 23, 2017 6:07 pm


此則回覆多餘, 請板主刪除, 謝謝!

benice
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訪客 於 星期五 十一月 24, 2017 12:06 am


答案是(1)無誤,我也是算錯一個步驟,感謝大大

訪客

 

Re: [國中]兩題想不開

lskuo 於 星期六 十一月 25, 2017 10:33 pm


Anonymous 寫到:(1)10的2002次方再加1,是否為質數?

由benice大大的啟發,似乎可以找到更一般的通則
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

lskuo
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