[高中]第1冊2-3多項式方程式

[高中]第1冊2-3多項式方程式

mathjack 於 星期二 八月 06, 2013 12:58 pm


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mathjack
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benice 於 星期二 八月 06, 2013 9:50 pm


x² 的二次方程式 (x²)² + 2(k+1)x² + k² - 3k + 2 = 0
之公式解為

= { -2(k+1) ± √[4(k+1)² - 4(k²-3k+2)] } / (2*1)  
= -(k+1) ± √[(k+1)² - (k²-3k+2)]
= -(k+1) ± √(5k-1)

因為上式四根相異且恰有二個虛根,所以
5k-1 > 0 且 k+1 < √(5k-1)  

5k-1 > 0
=> k > 1/5 ..... (*)  

k+1 < √(5k-1)  
=> (k+1)² < 5k-1  
=> k² - 3k + 2 < 0  
=> (k-1)(k-2) < 0  
=> 1 < k < 2 ..... (**)  

(*) and (**) => 1 < k < 2

benice
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mathjack 於 星期日 八月 11, 2013 6:05 pm


因為上式四根相異且恰有二個虛根,所以
5k-1 > 0 且 k+1 < √(5k-1)  

請詳細解釋
謝謝!!

mathjack
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benice 於 星期日 八月 11, 2013 10:02 pm


mathjack 寫到:因為上式四根相異且恰有二個虛根,所以
5k-1 > 0 且 k+1 < √(5k-1)  

請詳細解釋

謝謝!!

5k-1 < 0 => √(5k-1) 為虛數 => = -(k+1) ± √(5k-1) 為虛數 => 四根皆為虛根 (不符於題意“恰有二個虛根”)
5k-1 = 0 => x² = -(k+1) => 只有兩相異根 (不符於題意“四根相異”)
5k-1 > 0
∴ k+1 > 0
∴ -(k+1) - √(5k-1) 小於 0
因此 -(k+1) + √(5k-1) 不可以小於 0,否則四根皆為虛根
顯然 -(k+1) + √(5k-1) 也不可以等於 0,否則會有二重根 0 (不符於題意“四根相異”)
故 -(k+1) + √(5k-1) > 0
k+1 < √(5k-1)

benice
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mathjack 於 星期三 八月 21, 2013 10:04 am


謝謝回答!!
這一題的回答 我不滿意 因為沒有時間了 只能暫時接受 thank you any way

mathjack
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benice 於 星期六 八月 24, 2013 4:26 pm


mathjack 寫到:謝謝回答!!

這一題的回答 我不滿意 因為沒有時間了 只能暫時接受 thank you any way

如果看不懂,把四個根列出來看,比較清楚:

x1 = √[ -(k+1) + √(5k-1) ] ...... 實根
x2 = -√[ -(k+1) + √(5k-1) ] ...... 實根
x3 = √[ -(k+1) - √(5k-1) ] ...... 虛根
x4 = -√[ -(k+1) - √(5k-1) ] ...... 虛根

內層根號裡面的值不可以為負,否則四根皆為虛根,所以 5k-1 需要大於 0。
而 5k-1 大於 0 就保證了 k+1 大於 0,所以 x3, x4 外層根號裡面的值必小於 0,故 x3, x4 必為虛根。
因此,為符合題意,x1, x2 必須為實根,故 -(k+1) + √(5k-1) 必須大於 0。

benice
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benice 於 星期六 八月 24, 2013 4:43 pm


也可以利用函數圖形的性質來解題。

令 f(x) = x^4 + 2(k+1)x² + k² - 3k + 2

1:考慮 k > -1 的情況。

  因為 k > -1,所以 k + 1 > 0。

  若 b > a ≧ 0,則 f(b) - f(a) = (b^4 - a^4) + 2(k+1)(b² - a²) > 0。
  所以 f 在 [0,∞) 為嚴格遞增函數。

  注意 f 為偶函數,所以 y = f(x) 的圖形對稱於 y 軸,
  所以 f 在 (-∞,0] 為嚴格遞減函數。

  故 f(0) 為 f 的最小值,且唯有在 f(0) < 0 時,
  方程式 f(x) = 0 才會有兩個相異實根(另兩個共軛虛根)。

  f(0) = k² - 3k + 2 = (k-1)(k-2)
  f(0) < 0 <=> 1 < k < 2

  所以,1 < k < 2 符合所求

2:考慮 k ≦ -1 的情況。

  f(x)
  = x^4 + 2(k+1)x² + k² - 3k + 2
  = (x²)² + 2(k+1)x² + (k+1)² - 5k + 1
  = [x² + (k+1)]² - 5k + 1
  ≧ -5k + 1
  ≧ 6 (∵ k ≦ -1, ∴ -5k ≧ 5, ∴ -5k + 1 ≧ 6)  
  > 0

  所以 f(x) 恆大於零,因此方程式 f(x) = 0 不可能有實根

綜合 (1), (2),滿足題意的 k 值範圍為 1 < k < 2。 ■


參考圖形:

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benice
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mathjack 於 星期二 十月 25, 2016 11:12 pm


今天才發現,感謝你詳細解答,有空再看
2016-10-25

mathjack
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mathjack 於 星期六 十一月 04, 2017 8:00 pm


非常感謝benice的詳解。今天再補謝謝一次。

mathjack
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