[國中] 數學科試題

[國中] 數學科試題

訪客 於 星期日 十月 30, 2016 7:58 pm



訪客

 

benice 於 星期二 十一月 01, 2016 7:07 am




x = a + b ...... (1)
y = a - b ...... (2)

因為 a > b > 0,所以 x > y > 0。
又因為 a, b 為正整數,所以 x, y 也是正整數。

用加減消去法解方程組 (1), (2) 可得:
a = (x + y)/2 ...... (3)
b = (x - y)/2 ...... (4)

以下將題目所給的 a, b 的關係式轉換成 x, y 的關係式:
4(a² + ab + b²) = 49(a + b)
4{[(x + y)/2]² + [(x + y)/2][(x - y)/2] + [(x - y)/2]²} = 49[(x + y)/2 + (x - y)/2]
(x + y)² + (x + y)(x - y) + (x - y)² = 49x
2x² + 2y² + x² - y² = 49x
3x² + y² = 49x
y² = 49x - 3x²
y = √(49x - 3x²) = √[x(49 - 3x)]

因為上式的根號內部需大於零,
所以 49 > 3x,即 x < 49/3 = 16 + 1/3,
因此 x ≦ 16。

因為 x > y,
所以 x² > y²,
x² > x(49 - 3x),
x > 49 - 3x,   (註:因為 x > 0,所以不等式可同除 x)
4x > 49,
x > 49/4 = 12 + 1/4,
因此 x ≧ 13。

x  |   y   | y 為整數?
---------------------------------
13 | √(13×10) |    否
---------------------------------
14 | √(14×7)   |    否
---------------------------------
15 | √(15×4)   |    否
---------------------------------
16 | √(16×1)   |     4
---------------------------------

所以 x = 16, y = 4,將其代入 (3), (4) 得
a = (16 + 4)/2 = 10
b = (16 - 4)/2 = 6  ■


參考圖:

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

上圖同時顯示 a-b 座標系與 x-y 座標系:
不等式 a > b > 0, 方程式 4(a² + ab + b²) = 49(a + b), 紅點 (10, 6) 為 a-b 座標系的圖;
不等式 x > y > 0, 方程式 y² = 49x - 3x², 藍點 (16, 4) 為 x-y 座標系的圖。

benice
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[數學科試題回覆]

訪客 於 星期二 十一月 01, 2016 9:03 pm


謝謝你用心的答覆,讓我茅塞頓開,對我幫助很大!!

訪客

 

benice 於 星期三 十一月 02, 2016 9:03 am



另解 (想法比較簡單,但數字計算比較繁雜):

4(a² + ab + b²) = 49(a + b)
4b² + (4a - 49)b + (4a - 49)a = 0

將上式視為 b 的二次方程式,
則公式解的判別式
= (4a - 49)² - 4*4*(4a - 49)a
= (4a - 49)(4a - 49 - 16a)
= (4a - 49)(-12a - 49)
= (49 - 4a)(12a + 49)

因為 b 為正整數,當然也是實數,
所以判別式 (49 - 4a)(12a + 49) ≧ 0,
49 - 4a ≧ 0,    (註:因為 12a + 49 > 0,所以不等式可同除 12a + 49)
4a - 49 ≦ 0,
a ≦ 49/4 = 12 + 1/4,
因此 a ≦ 12

由公式解求得
b = { 49 - 4a + √[(49 - 4a)(12a + 49)] } / 8
(註:因為 (49 - 4a)² < (49 - 4a)(12a + 49),所以公式解的另一解小於零,不合)

因為 a > b,
所以 8a > 8b,
所以 8a > 49 - 4a + √[(49 - 4a)(12a + 49)],
12a - 49 > √[(49 - 4a)(12a + 49)],
(12a - 49)² > (49 - 4a)(12a + 49),
12²a² - 2*12*49a + 49² > -4*12a² + (49*12 - 4*49)a + 49²,
12(12 + 4)a² > 32*49a,
3(16)a > 8*49,    (註:因為 a > 0,所以不等式可同除 a)
6a > 49,
a > 49/6 = 8 + 1/6,
因此 a ≧ 9

a   | 判別式是否為完全平方數?
--------------------------------------------------------------------
9   | (49 - 36)(108 + 49) = 13*157 (157 為質數), 否
--------------------------------------------------------------------
10 | (49 - 40)(120 + 49) = 9*169 = 3²*13² = 39², 是
--------------------------------------------------------------------
11 | (49 - 44)(132 + 49) = 5*181 (181 為質數), 否
--------------------------------------------------------------------
12 | (49 - 48)(144 + 49) = 193 (193 為質數), 否
--------------------------------------------------------------------

所以只有在 a = 10 時,b 才可能為整數。

a = 10 時,b = (49 - 4*10 + √39²) / 8 = 48 / 8 = 6 也是整數。

故數對 (a, b) 只有唯一解 (10, 6)。 ■




benice
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Re: [國中] 數學科試題

lskuo 於 星期三 十一月 09, 2016 12:26 am


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


從以上分析,可以得知 a+b只能是16。所以題目也可以改成問 a+b。

lskuo
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