[國中]一個根式內無限

[國中]一個根式內無限

訪客 於 星期三 十月 26, 2016 1:56 pm


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訪客

 

benice 於 星期五 十月 28, 2016 12:45 am



題目怪怪的!

(√6 + 2√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + …) ≦ 原式 ≦ (√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + 6√11 + …)


(√6 + 2√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + …) = 4
(√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + 6√11 + …) = 5

所以
4 ≦ 原式 ≦ 5。

原式的近似值約為 4.862096497794835 (請參考下圖)。

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上圖中的紅點代表 (n, f(n)), n = 1 ~ 55。

f(n) 定義如下:

f(1) = sqrt(6)

f(2) = sqrt(6 + 3*sqrt(7))

f(3) = sqrt(6 + 3*sqrt(7 + 4*sqrt(8)))

f(4) = sqrt(6 + 3*sqrt(7 + 4*sqrt(8 + 5*sqrt(9))))

f(5) = sqrt(6 + 3*sqrt(7 + 4*sqrt(8 + 5*sqrt(9 + 6*sqrt(10)))))

其餘依此類推。

benice
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訪客 於 星期五 十月 28, 2016 12:03 pm


(√6 + 2√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + …) = 4
(√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + 6√11 + …) = 5

請教等於4等於5這兩式怎麼算出來的?

訪客

 

benice 於 星期五 十月 28, 2016 1:56 pm



訪客 寫到:(√6 + 2√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + …) = 4
(√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + 6√11 + …) = 5
請教等於4等於5這兩式怎麼算出來的?

使用 Ramanujan's infinite radicals
x + n + a = √ax + (n+a)² + x√a(x+n) + (n+a)² + (x+n)√a(x+2n) + (n+a)² + (x+2n)√a(x+3n) + (n+a)² + (x+3n)√…

代入 x = 2, n = 1, a = 1 可得
2 + 1 + 1 = √6 + 2√7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + …

代入 x = 3, n = 1, a = 1 可得
3 + 1 + 1 = √7 + 3√8 + 4√9 + 5√10 + 6√11 + …

benice
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訪客 於 星期五 十月 28, 2016 11:10 pm


感謝大大

訪客

 






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