[高中]立方根

[高中]立方根

訪客 於 星期五 十月 07, 2016 10:47 am


A=三次根號9減三次根號6
B=三次根號11減三次根號8
C=0.03

比較A,B,C 的大小


請各位幫忙...

月考題不會算.

訪客

 

benice 於 星期五 十月 07, 2016 4:36 pm



解法一 (使用立方差公式):

由立方差公式
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)


a - b = (³√a - ³√b) [³√(a²) + ³√(ab) + ³√(b²)]


³√a - ³√b = (a - b) / [³√(a²) + ³√(ab) + ³√(b²)]

所以,
A
= ³√9 - ³√6
= (9 - 6) / [³√(9²) + ³√(9×6) + ³√(6²)]
= 3 / (³√81 + ³√54 + ³√36) ...... (1)

B
= ³√11 - ³√8
= (11 - 8) / [³√(11²) + ³√(11×8) + ³√(8²)]
= 3 / (³√121 + ³√88 + ³√64) ...... (2)

比較 (1), (2) 兩式,
因為 81 < 121, 54 < 88 且 36 < 64,
所以 (1) 式的分母(2) 式的分母 小,
因此 A > B。

B
= 3 / (³√121 + ³√88 + ³√64)
> 3 / (³√125 + ³√125 + ³√125)
= 3 / (5 + 5 + 5)
= 1/5
= 0.2
> 0.03
= C

故 A > B > C。 ...... (Ans.) ■


請問你的 C 值有沒有給錯?
A ~ 0.263, B ~ 0.224, C = 0.03,C 好小喔!會被 A, B 霸凌!

benice
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benice 於 星期五 十月 07, 2016 5:33 pm



解法二 (使用微分的均值定理):

令 f(x) = ³√x, x > 0。
則函數 f 在 (0,∞) 可微分:
f'(x) = (1/3) x^(-2/3)
f"(x) = -(2/9) x^(-5/3)

因為 f" 在 (0,∞) 的值恆小於 0,所以 f' 在 (0,∞) 為嚴格遞減函數。

A
= f(9) - f(6)
= [f(9) - f(8)] + [f(8) - f(6)]
= [f(9) - f(8)] + f'(a)(8 - 6),  (其中 6 < a < 8,  a 由均值定理得到)
= f(9) - f(8) + 2 f'(a) ...... (1)

B
= f(11) - f(8)
= [f(11) - f(9)] + [f(9) - f(8)]
= f'(b)(11 - 9) + [f(9) - f(8)],  (其中 9 < b < 11,  b 由均值定理得到)
= f(9) - f(8) + 2 f'(b) ...... (2)

因為 a < b,所以由 f' 的嚴格遞減性質可知 f'(a) > f'(b)。

因此,比較 (1), (2) 兩式可知 A > B。

B
= f(11) - f(8)
= f'(c)(11 - 8),  (其中 8 < c < 11,  c 由均值定理得到)
= 3 f'(c)
> 3 f'(5√5)  (因為 c < 11 < 5√5 且 f' 在 (0,∞) 為嚴格遞減函數)
= 3 [(1/3) (5√5)^(-2/3)]
= 1/5
= 0.2
> 0.03
= C

故 A > B > C。 ...... (Ans.) ■

benice
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benice 於 星期五 十月 07, 2016 11:38 pm



B 跟 C 也可以直接比較:

B - C
= ³√11 - ³√8 - 0.03
= ³√11 - 2 - 0.03
= ³√11 - 2.03
= ³√11 - ³√(2.03³)
= ³√11 - ³√8.365427
> 0

所以 B > C。

benice
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訪客 於 星期六 十月 08, 2016 1:02 pm


好強!

謝謝您!

訪客

 






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