[問題]證明題,關於三角學

[問題]證明題,關於三角學

訪客 於 星期日 九月 25, 2016 6:40 pm


在三角形ABC中,已知[tanA/2+(tanA/2) (tanB/2)]/(1-tanB/2)=1,
(a)證明1/(tanA/2)=tan(兀/4 + B/2)

(b)由此,證明A+B=兀/2


求高手解答!!!!

訪客
訪客
 

benice 於 星期一 九月 26, 2016 7:37 am



證明:

先將已知式整理如下
[tan(A/2) + tan(A/2)tan(B/2)] / [1 - tan(B/2)] = 1
tan(A/2)[1 + tan(B/2)] / [1 - tan(B/2)] = 1
[1 + tan(B/2)] / [1 - tan(B/2)] = 1/tan(A/2) ...... (*)

(a)
tan(π/4 + B/2)
= [tan(π/4) + tan(B/2)] / [1 - tan(π/4)tan(B/2)]     [By 和角公式]
= [1 + tan(B/2)] / [1 - tan(B/2)]     [∵ tan(π/4) = 1]
= 1/tan(A/2)     [By (*)]

(b)
tan(π/2 - B)
= -tan(B - π/2)     [∵ tan 為奇函數]
= -tan(B - π/2 + π)     [∵ tan 函數的週期為 π]
= -tan(B + π/2)
= -tan(2(π/4 + B/2))
= -2 tan(π/4 + B/2) / [1 - tan²(π/4 + B/2)]     [By 倍角公式]
= -2 [1/tan(A/2)] / [1 - 1/tan²(A/2)]     [By (a)]
= -2 tan(A/2) / [tan²(A/2) - 1]     [分子與分母同乘以 tan²(A/2)]
= 2 tan(A/2) / [1 - tan²(A/2)]
= tan(A)     [By 倍角公式]

因為 tan 函數在區間 (-π/2, π/2) 為嚴格遞增,所以也是一對一,
而且 π 為 tan 函數的最小週期,所以由 tan(π/2 - B) = tan(A) 得知

A = (π/2 - B) + kπ, k = 0, ±1, ±2, ±3, .....。     [請參考附圖]

即 A + B = π/2 + kπ, k = 0, ±1, ±2, ±3, .....。

又因為 A, B 是三角形的內角,所以 0 < A + B < π,因此 k 只能為 0。

故 A + B = π/2。


附圖:(圖中的 a 等於 π/2 - B)

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benice
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註冊時間: 2010-02-08






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