[高中]用三角函數表示螺線的方程式

[高中]用三角函數表示螺線的方程式

benice 於 星期五 七月 15, 2016 12:23 pm


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上圖為座標平面上的一對螺線,兩螺線都是由無限多個半圓連接而成。
請利用 sin 函數來表示這一對螺線的方程式。

註:
1. 圖中網格的長、寬皆為 1/2 單位長。
2. 方程式請用單一式子表示,可以使用下圖所示的 sgn 函數。



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參考答案 (第一個式子, k = 1)。

benice
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benice 於 星期二 七月 19, 2016 8:41 am


以下這道三角函數的題目也與方程式有關,可推導出『平均分布在已知圓上的
n 個圓』的方程式。


座標平面上有 n 個點 A1 ~ An,平均分布於一個以原點 O 為圓心的固定圓上,且
其中一點落在正 X 軸上。另有一半徑恆定的動圓,圓心 A 點沿著上述固定圓移動,
請參考下圖。



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設 P 為動圓上的任意點,令 θ 為正 X 軸到線段 OP 的有向角 (0 ≦ θ < 2π),
α 為線段 OP 與 OA 的夾角。

請證明:
(1) 當動圓圓心位於 A1 ~ An 任一點時,cos(nθ) = cos(nα);  (請參考 圖 1)
(2) 當動圓圓心不在 A1 ~ An 任何點時,cos(nθ) ≠ cos(nα)。  (請參考 圖 2)



圖 1:

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圖 2:

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benice
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benice 於 星期一 八月 01, 2016 8:20 am



檔案下載:
螺線方程式的 Graph 4.4.2 範例檔案。


註:

1.
有些軟體 (如 Graph) 在 x 軸上可能會畫出多餘的線段,將式子除以 y 可清除
這些錯誤的線段。如果用 Mathematica 或 GrafEq 繪圖,就沒有這類問題。

2.
也可以不用三角函數,改用二元函數 mod(x,y)。但是我測試的結果,只有
GrafEq 可以正確繪圖。可惜我使用的是 GrafEq 的試用版,無法分享檔案。

雖然 Graph 無法正確畫出 mod 方程式的圖形,但可用 mod 不等式的圖形
來近似 mod 方程式的圖形。

3.
一般常見的螺線,如阿基米德螺線、費馬螺線、雙曲螺線、連鎖螺線、對數螺線
等等,也可以用三角函數來表示它們的方程式圖形或不等式圖形。 (範例圖形)

benice
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benice 於 星期日 九月 18, 2016 12:18 am



適當地使用三角函數,可以得到比較簡潔的數學式。

例如以下這道題目,可以用多項式解題,也可以使用三角函數。


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benice
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解析幾何及三角函數