[挑戰]用已知線推導圓心與半徑問題

[挑戰]用已知線推導圓心與半徑問題

訪客 於 星期四 八月 11, 2016 3:14 pm


Hi,


如圖所示
已知
A1(150        , 250       ) A2(250        , 150       )
B1(    4.904 , 291.506) B2(141.506 , 254.904)
C1(254.904 , 141.506) C2(291.506 ,     4.904)
θ = 30度
有辦法求出圓心(h,k)p1,p2,p3的座標嗎?
       

image file name: 2kc9caca39d8.jpg

訪客

 

訪客 於 星期五 八月 12, 2016 9:40 pm


題目的字體過大,數字都擠在一起了!

題意不清,令 O = (h,k),請問:
OP1, OP2, OP3 三線段的長度是否相等?
OP1 是否垂直於 B1B2?
OP2 是否垂直於 A1A2?
OP3 是否垂直於 C1C2?

訪客

 

eaglle 於 星期一 八月 15, 2016 5:11 pm


假定三個p點都是線段中點, 那麼, 三個p點的座標就直接由線段端相加除以2得之, 和圓沒有什麼關係

另外, 仔細檢查所給的B1.B2座標, 確實是由A1,A2 以座標原點為中心 旋轉30度的結果
C1,C2也是由A1,A2旋轉30度的結果

故知圓心就是座標原點, 如果圓是指「通過兩個A, 兩個B, 兩個C這六點」的圓

eaglle
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manny7465 於 星期三 八月 17, 2016 11:11 am


Anonymous 寫到:題目的字體過大,數字都擠在一起了!


在編輯時我試過字體全選然後調整Size,但都沒反應,調Font也是樣
可能是Google瀏覽器的關係,很抱歉造成大家的困擾
題意不清,令 O = (h,k),請問:
OP1, OP2, OP3 三線段的長度是否相等?
理論上是
OP1 是否垂直於 B1B2? 理論上是
OP2 是否垂直於 A1A2?
理論上是
OP3 是否垂直於 C1C2?
理論上是
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manny7465 於 星期三 八月 17, 2016 11:20 am


Anonymous 寫到:題目的字體過大,數字都擠在一起了!

題意不清,令 O = (h,k),請問:
OP1, OP2, OP3 三線段的長度是否相等?
OP1 是否垂直於 B1B2?
OP2 是否垂直於 A1A2?
OP3 是否垂直於 C1C2?




首先感謝各位的指導,很抱歉最近比較忙,現在才有辦法上論壇回覆
這圖是我用繪圖軟體畫的,其座標都是繪圖軟體給的,他是符合半徑相同,而點都會是在圓上的點
但實際上我的平台是機械平台,可以輸入角度或xy進行移動,然後用相機去看一條線在各角度的兩點位置
我試過用中垂點與法向量(不知道有沒有講錯)去求交點,也就是垂直於一條線且經過的中心點線方程去求交點
但誤差都太大,這些誤差可能是機械平台走的不準,也有可能是像機取像的關係造成不準,
我想知道的是還有沒有其他的算法,是可以利用旋轉然後看線段的位置,推估出圓心(也就是旋轉中心),謝謝
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benice 於 星期五 八月 19, 2016 8:40 am


旋轉公式:
某點原先位於座標 (x,y),以原點為轉軸,逆時針旋轉θ弧度後,該點位置變成座標 (x',y'),則:
x' = x cosθ - y sinθ
y' = x sinθ + y cosθ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

假設 p1, p2, p3 分別為 B1 與 B2, A1 與 A2, C1 與 C2 的中點,則:
p1 = (B1 + B2)/2 = ((4.904 + 141.506)/2, (291.506 + 254.904)/2) = (73.205, 273.205)
p2 = (A1 + A2)/2 = ((150 + 250)/2, (250 + 150)/2) = (200, 200)
p3 = (C1 + C2)/2 = ((254.904 + 291.506)/2, (141.506 + 4.904)/2) = (273.205, 73.205)

設圓心座標為 (a,b)。

p1, p2, p3 對 (a,b) 的相對座標分別為
p1' = (73.205 - a, 273.205 - b)
p2' = (200 - a, 200 - b)
p3' = (273.205 - a, 73.205 - b)


(1) 由『p3 以 (a,b) 為轉軸,逆時針旋轉 30° 後的點為 p2』,求 a, b 的值:

『p3 以 (a,b) 為轉軸,逆時針旋轉 30° 後的點為 p2』
相當於
『p3' 以 (0,0) 為轉軸,逆時針旋轉 30° 後的點為 p2'』

由旋轉公式,
200 - a = (273.205 - a)cos(30°) - (73.205 - b)sin(30°)
200 - b = (273.205 - a)sin(30°) + (73.205 - b)cos(30°)

200 - a = (273.205 - a)(sqrt(3)/2) - (73.205 - b)(1/2)
200 - b = (273.205 - a)(1/2) + (73.205 - b)(sqrt(3)/2)

400 - 2a = sqrt(3)(273.205 - a) - 73.205 + b
400 - 2b = 273.205 - a + sqrt(3)(73.205 - b)

以上方程組的 Mathematica 計算結果:

In[1]:= NSolve[{400 - 2a == Sqrt[3] (273.205 - a) - 73.205 + b,
                400 - 2b == 273.205 - a + Sqrt[3] (73.205 - b)}, {a,b}]
Out[1]= {{a -> -0.000191073, b -> 0.000110316}}

所以,(a,b) ≒ (-0.000191073, 0.000110316)。


(2) 由『p2 以 (a,b) 為轉軸,逆時針旋轉 30° 後的點為 p1』,求 a, b 的值:

可以仿照 (1),求得

(a,b) ≒ (0.000110316, -0.000191073)。

或者由對稱性求得:

觀察 p1 與 p3 的座標值 (73.205, 273.205) 與 (273.205, 73.205),
得知 p1 的 x, y 座標恰等於 p3 的 y, x 座標,
所以 p1, p3 對稱於對角線 y = x。

而 p2 座標為 (200, 200),恰好落在對角線 y = x 上,
因此,所求的 a, b 值恰為 (1) 求得的 b, a 值。

benice
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manny7465 於 星期一 八月 22, 2016 9:15 am


感謝!!受益良多
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manny7465
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