[大學]請教偏微分的意義

[大學]請教偏微分的意義

kaikai 於 星期一 一月 04, 2016 6:43 pm


函數裡有兩個以上的變數使用偏微分
fx 是平行於 x軸的切線斜率
fy 是平行於y軸的切線斜率
那麼 fxy  先對y偏微再對x偏微是什麼意思呢... 求解釋


感謝!!

kaikai
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eaglle 於 星期二 一月 05, 2016 10:50 am


照字面的意思,fxy 就是fx 這個函數(它仍是兩變數)對y的偏微分;換言之,fxy =(fx )y

但我猜你是想問它的幾何意義,那就讓我們假想自己站在山坡上,而這山坡是由z=f(x,y)所描繪的曲面,
假定往X方向看,看到沿X方向山坡的斜率是1(即坡度是45度角),這就表示fx =1;現在,假定你往Y方向跨一步後,再看X方向的坡度變成46度,這就表示新的斜率fx 變大一點了。這時候,把這兩個斜率的差除以跨步的距離,大概就是fxy 了。所以這時的fxy >0

換言之,fxy 代表往Y方向移動時,fx 的變化率

eaglle
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eaglle 於 星期二 一月 05, 2016 1:35 pm


以上的初步回應, 猜想仍然不能真正回答你的問題:

舉例而言, 如果是單變數函數g(x), 對於「g''是什麼意思」, 如果回答「g''就是g'的變化率」, 你一定不能滿意: 因為你希望把g''的意義回歸到g身上, 而不是用它來描繪g'
如果回答「g''>0代表g'在增加, 所以代表g的切線在逆時針轉動, 所以代表g的圖形是上凹的」, 這樣你大概會滿意了

所以, 真正要讓你滿意, 必須說明fxy的意義如何反映在f(x,y)的圖形上, 那麼, 這要怎麼回答呢?

eaglle
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eaglle 於 星期二 一月 05, 2016 3:08 pm


這次的回答是這樣的:

fxx>0代表在X方向的曲線是上凹的, fyy類似; 至於fxy呢?

fxy單獨很難告訴我們關於f的事情, 而是要和fxx,fyy合在一起來看

結論是: 如果 , 則 z=f(x,y)的圖形是馬鞍型的
           如果 , 則 z=f(x,y)的圖形是碗型的, 開口向上或向下, 則由fxx的正負決定

至於如何証明, 則要先建立兩變數的泰勒定理

以上, 希望完整地回答了你的問題

eaglle
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kaikai 於 星期二 一月 05, 2016 11:18 pm


往y方向移動時,x對z的變化率,這我蠻能體會的,很好的解答!

想問你 說的那兩條式子
是 fx*y2 - fx*x * fy*y > 0
還是 fx*y2 - fxx*fyy > 0 ?
(因為你說要和 fxx 和 fyy 合在一起看,但你給的式子卻沒有fxx 跟 fyy ,所以有點疑惑)

你給的式子跟一個鞍點的判別式長得有點像 (其實我就是為了想理解這個判別式而來問這個問題的)
fxx * fyy - (fxy)2  > 0 → 極值
fxx * fyy - (fxy)2 < 0 → 鞍點

fxx * fyy 我能理解,是判斷x方向跟y方向的凹凸性是否一致,一致的話就會同號,所以是用來判斷凹凸性
但後面為什麼要減一個 fxy 這我就想不懂了

泰勒定理再過幾天才會學到,目前只學到多變數函數,等我學了以後如果有問題再來討論

還有阿,你好用心喔!!
真想給你一個讚。

kaikai
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eaglle 於 星期三 一月 06, 2016 10:05 am


首先跟你抱歉, 我那時匆忙, 打完latex後沒有檢查顯示的數學式對不對, 造成你的困擾
確實是你所列的那兩道式子無誤

另外, 謝謝你喜歡我的回覆, 我只是大概知道你在想什麼而已, 而且, 我很喜歡你問的問題, 大部份人都只要會計算就算了
果然, 你真的就是在想如何用二階W微分去預測原圖形的長像, 而且, 已經抓到事情的重點

重點是: 雖然代表在X和Y方向上的凹性一致
          但是, 仍然不保証它是碗型, 而可能還是鞍型
          -----因為, 圖形可能在X和Y方向之間的某個方向上凹向相反, 換言之, 凹向上和凹向下的方向可能差一個45度, 而不是90度!

重點是: 如果不只是, 而是
          就可以排除上述鞍型的可能, 也就是, 任一個方向的凹性都會一致!!

至於為什麼有此威力呢?
這就是學問之所在, 巧妙之所在了

不過, 一般教科書或老師講的証明, 大概無法完全讓你解惑 (希望我猜錯)
到時候再來討論, 如果下次我還能聽懂你的問題的話, 還有, 如果我知道怎麼回答的話XD

eaglle
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