[大學]反函數

[大學]反函數

李佳霖 於 星期日 三月 01, 2015 9:14 pm


若f.g均為x之函數,f.g有反函數,試證 f(g(x))為一對一函數

請問要怎麼證啊?

李佳霖
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Re: [大學]反函數

jeffrey6301 於 星期一 十二月 28, 2015 3:58 pm


f,g有反函數
<--> f,g皆為一對一函數
<--> d(f(x))/dx 恆正或衡負, d(g(x))/dx 恆正或衡負

d(f(g(x)))/dx = d(f(g(x)))/d(g(x))*d(g(x))/dx
= 一個恆正或恆負的東西 * 另一個恆正或恆負的東西
= 恆正或恆負

故 f(g(x)) 為一對一函數

jeffrey6301
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eaglle 於 星期一 十二月 28, 2015 9:17 pm


J大, 你引入微分來証明函數為1對1可能不太恰當
因為那兩個函數根本可能是離散函數, 不但不可微分, 甚至不連續...

所以, 這題是集合論的題目吧?

eaglle
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jeffrey6301 於 星期一 十二月 28, 2015 10:14 pm


有道理
我想得太淺了

設 f(g(x)) 非一對一函數
則存在 x1 ≠ x2 使得 f(g(x1)) = f(g(x2))

f(g(x1)) = f(g(x2))
<--> g(x1) = g(x2) (因 f 有反函數)
<--> x1 = x2 (因 g 有反函數)

與前提矛盾
故假設錯誤
f(g(x)) 為一對一函數

jeffrey6301
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eaglle 於 星期一 十二月 28, 2015 10:31 pm


簡單明瞭,証得好

eaglle
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