[高中]期望值

[高中]期望值

黃先生 於 星期六 八月 29, 2015 3:51 pm


設有一圓 E,其周界長度為 e 單位,於其上有二弧A及B,長度依次為 a及b 單位。(其中 a,b及e皆為正整數。)如A及B皆可於圓之周界中隨意移動。(但圓周中存在某點 X ,而 A 或 B 皆不能穿越 X。) ,求二弧重疊部份長度之期望值。

黃先生
訪客
 

黃先生 於 星期二 九月 01, 2015 5:01 pm


如無 X 點之限制,答案則很簡單︰ ab/e 單位

黃先生
訪客
 

黃先生 於 星期五 九月 04, 2015 12:45 pm


相關問題:
(1)於圓周上任選一點,則此點同時位於 A 弧及 B 弧中之機率為何?
(2)二弧相接觸(即有重疊部份)之機率為何?

黃先生
訪客
 

lskuo 於 星期五 九月 04, 2015 1:55 pm


黃先生 寫到:相關問題:
(2)二弧相接觸(即有重疊部份)之機率為何?


若無X點限制,則推論如下:
1. 若 a+b > e, 則兩弧必定重疊,所以機率為1
2. 若 a+b ≤ e, 則想像兩弧緊鄰時,剩下的部份 = e - (a+b), 兩弧在此區內隨意移動,均不會與另一弧重疊,所以不重疊的機率為 (e-a-b)/e = 1 - (a+b)/e, 因此,重疊的機率 = (a+b)/e

lskuo
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黃先生 於 星期六 九月 05, 2015 11:32 am


Iskuo 君,多謝回覆。由此可得出一較簡潔的答案︰   機率為  min(e,a+b)/e
(其中 min 表示最小者)

黃先生
訪客
 

黃先生 於 星期一 九月 07, 2015 11:39 am


類似問題:
某醫院於指定之24小時內,甲醫生須持續當值18小時,乙醫生須持續當值15小時(時段均任擇),問期間兩醫生同時當值時間之期望值。
(答案: 13又2/3 小時 )

黃先生
訪客
 

黃先生 於 星期五 九月 11, 2015 11:58 am


原題答案:
期望值為  min(a,b)  -[min(e-a,e-b)^3-max(0,e-a-b)^3]/3(e-a)(e-b)單位
(其中  min 表示 最小者; max 表示 最大者; ^3 表示3次方)

黃先生
訪客
 

lskuo 於 星期一 九月 14, 2015 4:17 pm


黃先生 寫到:原題答案:
期望值為  min(a,b)  -[min(e-a,e-b)^3-max(0,e-a-b)^3]/3(e-a)(e-b)單位
(其中  min 表示 最小者; max 表示 最大者; ^3 表示3次方)

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lskuo
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黃先生 於 星期四 九月 17, 2015 11:16 am


Iskuo 君,多謝回覆。惟閣下之答案僅在 a≦b 及 e-a-b≦0 時始適用,而本人提供之答案則同時涵蓋其餘3種情況。
(另甚為佩服閣下能將 E1+E2+E3 化簡為 E )

黃先生
訪客
 

lskuo 於 星期四 九月 17, 2015 11:58 am


黃先生 寫到:Iskuo 君,多謝回覆。惟閣下之答案僅在 a≦b 及 e-a-b≦0 時始適用,而本人提供之答案則同時涵蓋其餘3種情況。
(另甚為佩服閣下能將 E1+E2+E3 化簡為 E )


a≦b 並不影響解答的完整性,但可避免min{a,b},使答案的表示比較清爽。
至於 0≦e-a-b,照同一思路,並非不能解,惟積分上下限,會依a,b大小條件不同而有變化。事煩無暇,有興趣者可自為之。

因自己非機率專家,倒是比較好奇有無其它更直捷的解法。

lskuo
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